Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e potências de
. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
tende a mais infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador:
Aqui, temos dois termos:
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador:
Assim, o denominador também tem dois termos:
e
.
Passo 4
Vamos observar o comportamento de cada termo quando
vai para infinito:
- As funções
e são limitadas entre -1 e 1. -
cresce como , mas ainda é limitado por . -
oscila entre e . - No denominador,
cresce muito mais rápido do que , que está limitado entre -1 e 1.
Comparando os termos, o termo
no denominador domina o crescimento, enquanto o numerador cresce no máximo como
. Portanto, a fração geral tende a zero à medida que
vai para infinito.