Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de
por valores positivos e negativos. A matéria aqui envolve cálculo de limites e funções trigonométricas. Para resolver, a gente vai precisar lembrar como o
e o
se comportam quando
está perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o que acontece com
quando
está próximo de zero. Sabemos que, para valores pequenos de
,
. Então, podemos dizer que:
Passo 3
Agora, vamos ver o comportamento de
quando
está perto de zero. De maneira similar, temos que para
pequeno,
. Assim:
Passo 4
Substituindo essas aproximações na expressão original do limite, ficamos com:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite de
quando
e
:
- Se
se aproxima de por valores positivos ( ), tende ao . - Se
se aproxima de por valores negativos ( ), tende ao .
Resposta
Portanto,