Calcule os limites a seguir:
lim t 0 pm tan (t^2)sen(t^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de tan(t^2)sin(t^3) quando t se aproxima de 0 por valores positivos e negativos. A matéria aqui envolve cálculo de limites e funções trigonométricas. Para resolver, a gente vai precisar lembrar como o e o se comportam quando está perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o que acontece com tan(t^2) approx t^2 quando está próximo de zero. Sabemos que, para valores pequenos de , . Então, podemos dizer que:

Passo 3

Agora, vamos ver o comportamento de sin(t^3) approx t^3 quando está perto de zero. De maneira similar, temos que para pequeno, . Assim:

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão original do limite, ficamos com:
tan(t^2)sin(t^3) approx t^2t^3 = 1t

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de quando e :
  • Se se aproxima de por valores positivos ( ), tende ao .
  • Se se aproxima de por valores negativos ( ), tende ao .

Resposta

Portanto,
limt to 0^+ tan(t^2)sin(t^3) = +infty e limt to 0^- tan(t^2)sin(t^3) = -infty

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