Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades básicas dos limites e das funções trigonométricas, como sen(u) e tan(u).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Sabemos que:
Então, podemos reescrever o denominador:
Substituindo na expressão original:
Passo 3
Agora, simplificamos a expressão resultante:
Simplificando cada termo:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Vamos calcular o limite de cada termo separadamente.
Primeiro,
:
Sabemos que
. Então:
Quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1 e
se aproxima de
. Então:
Portanto:
E
Agora,
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
Somando os limites dos dois termos, temos:
Portanto,