Calcule os limites a seguir:
lim u 0 u^2+sen^2(u)tan (u)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando limu 0 u^2 + sin^2(u)tan(u) se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades básicas dos limites e das funções trigonométricas, como sen(u) e tan(u).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Sabemos que:
tan(u) = sin(u)cos(u)
Então, podemos reescrever o denominador:
tan(u) = sin(u)cos(u)
Substituindo na expressão original:
u^2 + sin^2(u)tan(u) = u^2 + sin^2(u)sin(u)cos(u) = (u^2 + sin^2(u)) cdot cos(u)sin(u)

Passo 3

Agora, simplificamos a expressão resultante:
(u^2 + sin^2(u)) cdot cos(u)sin(u) = u^2 cdot cos(u)sin(u) + sin^2(u) cdot cos(u)sin(u)
Simplificando cada termo:
u^2 cdot cos(u)sin(u) = u^2 cdot cos(u)sin(u) = u^2 cdot cot(u)
sin^2(u) cdot cos(u)sin(u) = sin(u) cdot cos(u)
Então, a expressão fica:
u^2 cdot cot(u) + sin(u) cdot cos(u)

Passo 4

Vamos calcular o limite de cada termo separadamente.
Primeiro, u^2 cdot cot(u) = u^2 cdot cos(u)sin(u) :
Sabemos que cos(u)sin(u) approx 1u . Então:
u^2 cdot 1u = u
Quando limu 0 sin(u) cdot cos(u) = 0 cdot 1 = 0 se aproxima de 0, se aproxima de 1 e se aproxima de . Então:
Portanto:
E
Agora, :
Sabemos que e , então:

Resposta

Somando os limites dos dois termos, temos:
0 + 0 = 0
Portanto,
limu 0 u^2 + sin^2(u)tan(u) = 0

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