Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas. Precisamos saber como se comportam o
e o quando
se aproxima de zero. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser escrito como . Então, podemos reescrever a expressão do limite assim:
Agora, nosso limite fica:
Passo 3
Sabemos que, quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1, porque o cosseno de 0 é 1 e a função é contínua. Portanto, podemos simplificar o limite:
Passo 4
Agora, vamos usar a propriedade importante dos limites trigonométricos:
Isso significa que é aproximadamente igual a
quando
está muito perto de 0. Vamos aplicar isso ao nosso limite.
Passo 5
Vamos reescrever e usando essa propriedade:
Substituindo na expressão do limite:
Resposta
Portanto, o limite é: