Calcule os limites a seguir:
lim x 0 tan (a x)sen(bx), b neq 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas. Precisamos saber como se comportam o lim x 0 tan (a x)sen(b x), b neq 0 e o quando tan(x) se aproxima de zero. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tan(x) pode ser escrito como . Então, podemos reescrever a expressão do limite assim:
Agora, nosso limite fica:

Passo 3

Sabemos que, quando x se aproxima de 0, cos(a x) se aproxima de 1, porque o cosseno de 0 é 1 e a função é contínua. Portanto, podemos simplificar o limite:

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade importante dos limites trigonométricos:
Isso significa que é aproximadamente igual a limx to 0 sen(k x)k x = 1 quando sen(k x) está muito perto de 0. Vamos aplicar isso ao nosso limite.

Passo 5

Vamos reescrever e usando essa propriedade:
Substituindo na expressão do limite:
sen(a x)

Resposta

Portanto, o limite é:
ab

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