Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites de funções e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades dos limites e as aproximações de funções trigonométricas quando
está próximo de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando
se aproxima de zero, as funções trigonométricas podem ser aproximadas por suas expansões de Taylor. Especificamente:
Essas aproximações são válidas porque os termos de ordem superior se tornam insignificantes quando
tende a zero.
Passo 3
Aplicando essas aproximações às funções do limite, temos:
Substituindo essas aproximações na expressão original:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão obtida:
Observe que o termo
se cancela no numerador e no denominador.
Resposta
Portanto, o limite é
.