Calcule os limites a seguir:
lim x 0 tan (a x)sen(b x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites de funções e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades dos limites e as aproximações de funções trigonométricas quando está próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando sen(x) approx x e tan(x) approx x se aproxima de zero, as funções trigonométricas podem ser aproximadas por suas expansões de Taylor. Especificamente:
Essas aproximações são válidas porque os termos de ordem superior se tornam insignificantes quando tende a zero.

Passo 3

Aplicando essas aproximações às funções do limite, temos:
Substituindo essas aproximações na expressão original:

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão obtida:
a xb x = ab
Observe que o termo se cancela no numerador e no denominador.

Resposta

Portanto, o limite é .

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