Calcule os limites a seguir:
lim t 0 raiz16-5 t-42 t

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular o limite de lim t 0 raiz16-5 t-42 t. Isso é um exercício de Cálculo de Limites, especificamente lidando com indeterminações do tipo 0/0. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir t = 0 diretamente na expressão para ver o que acontece:
raiz16 - 5 cdot 0 - 42 cdot 0 = raiz16 - 40 = 4 - 40 = 00
Obtivemos uma indeterminação do tipo 00, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver a indeterminação, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. A expressão conjugada de raiz16 - 5t - 4 é raiz16 - 5t + 4. Fazendo isso:
raiz16 - 5t - 42t cdot raiz16 - 5t + 4raiz16 - 5t + 4

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
Numerador:
(raiz16 - 5t - 4)(raiz16 - 5t + 4) = (raiz16 - 5t)^2 - 4^2 = (16 - 5t) - 16 = -5t
Denominador:
2t(raiz16 - 5t + 4)
Então, a expressão fica:
-5t2t(raiz16 - 5t + 4)

Passo 5

Agora, podemos simplificar o t que está no numerador e no denominador:
-52(raiz16 - 5t + 4)

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir t = 0 sem problemas:
-52(raiz16 - 5 cdot 0 + 4) = -52(raiz16 + 4) = -52(4 + 4) = -516

Resposta

O limite é -516.

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