Calcule os limites a seguir:
lim x 1 x-1x^2-5 x+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 1 da função . Aqui, estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental no Cálculo. Vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e identificar se substituindo diretamente causa algum problema, como uma divisão por zero.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1 - 11^2 - 5 times 1 + 4 = 01 - 5 + 4 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Aí, resulta em , que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo; precisamos de outra estratégia.

Passo 3

Quando encontramos uma forma x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) , uma tática comum é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
No numerador temos , que já está fatorado.
No denominador, temos . Vamos fatorar esse polinômio:
Procuramos dois números que multiplicados dão 4 e somados dão -5. Esses números são -1 e -4.
Então,

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração de volta na expressão original:
x - 1x^2 - 5x + 4 = x - 1(x - 1)(x - 4)
Percebemos que x - 1(x - 1)(x - 4) = 1x - 4, desde que x neq 1 está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar esses termos:

Passo 5

Com a expressão simplificada limx to 1 1x - 4 = 11 - 4 = 1-3 = -13 , agora podemos calcular o limite substituindo diretamente :

Resposta

O limite é .

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