Calcule os limites a seguir:
lim x 0+ xsen(raiz3 x)

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular o limite . Esse exercício é de Cálculo, mais especificamente de limites. Para resolver isso, vamos precisar saber como a função seno se comporta quando o seu argumento é bem pequeno, ou seja, próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Vamos chamar t = raiz3x Rightarrow x = t^23 de . Assim, temos:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0.

Passo 3

Substituindo limt to 0 t^23sen(t) = 13 limt to 0 t^2sen(t) por na expressão original, ficamos com:
Agora, precisamos calcular .

Passo 4

Sabemos que, para valores muito pequenos de limt to 0 sen(t)t = 1 , a função seno pode ser aproximada por t^2sen(t) approx t^2t = t . Isso é baseado no limite fundamental:
Usando essa aproximação, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limt to 0 t = 0 quando limt to 0 t^2sen(t) = 0 se aproxima de 0:
Portanto:

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
13 limt to 0 t^2sen(t) = 13 times 0 = 0

Resposta

O limite é igual a .

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