Para quais valores de
vale
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos descobrir para quais valores de $ z $ a igualdade
é verdadeira. Aqui, $ \overline{z} $ representa o conjugado de $ z $, e $ \exp $ é a função exponencial complexa. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades dos números complexos, especificamente sobre conjugados e a função exponencial neste contexto.
Passo 2
Vamos começar lembrando que, para um número complexo $ z = a + b i $, onde $ a $ e $ b $ são números reais, o seu conjugado é $ \overline{z} = a - b i $.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão $ \exp(i \overline{z}) $. Substituindo $ \overline{z} $ por $ a - b i $, temos:
Aqui, usamos a propriedade da exponencial que permite separar a soma no expoente.
Passo 4
Lembrando que $ \exp $ de um número complexo pode ser escrito usando a fórmula de Euler:
Aplicando isso à nossa expressão $ \exp(i a + b) $, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o conjugado de $ \exp(i \overline{z}) $, ou seja, $ \overline{\exp(i \overline{z})} $. Usando o resultado do passo anterior:
Aqui, usamos a propriedade do conjugado que, para qualquer número complexo $ u + i v $, seu conjugado é $ u - i v $.
Passo 6
Agora, vamos igualar as duas expressões que obtivemos:
Podemos dividir ambos os lados por $ \exp(b) $ (desde que $ \exp(b) \neq 0 $, o que é sempre verdadeiro), obtendo:
Passo 7
Subtraindo $ \cos a $ de ambos os lados:
Adicionando $ i \sin a $ aos dois lados:
Dividindo por $ 2 i $ (nova vez, que não é zero):
Passo 8
A equação $ \sin a = 0 $ é satisfeita quando $ a $ é múltiplo inteiro de $ \pi $:
Lembrando que $ z = a + b i $, isso significa que a parte real de $ z $ deve ser múltiplo de $ \pi $, e a parte imaginária $ b $ pode ser qualquer número real.
Resposta
Todos os números complexos $ z = a + b i $ onde a parte real $ a $ é múltiplo de $ \pi $. Ou seja, para todo inteiro $ k $,