Para quais valores de z vale exp (i barz)=exp (i barz)?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos descobrir para quais valores de $ z $ a igualdade
z
é verdadeira. Aqui, $ \overline{z} $ representa o conjugado de $ z $, e $ \exp $ é a função exponencial complexa. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades dos números complexos, especificamente sobre conjugados e a função exponencial neste contexto.

Passo 2

Vamos começar lembrando que, para um número complexo $ z = a + b i $, onde $ a $ e $ b $ são números reais, o seu conjugado é $ \overline{z} = a - b i $.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão $ \exp(i \overline{z}) $. Substituindo $ \overline{z} $ por $ a - b i $, temos:
exp(i z)
Aqui, usamos a propriedade da exponencial que permite separar a soma no expoente.

Passo 4

Lembrando que $ \exp $ de um número complexo pode ser escrito usando a fórmula de Euler:
exp
Aplicando isso à nossa expressão $ \exp(i a + b) $, temos:
exp(x + i y) = exp(x) (cos y + i sin y)

Passo 5

Agora, vamos calcular o conjugado de $ \exp(i \overline{z}) $, ou seja, $ \overline{\exp(i \overline{z})} $. Usando o resultado do passo anterior:
exp(i z)
Aqui, usamos a propriedade do conjugado que, para qualquer número complexo $ u + i v $, seu conjugado é $ u - i v $.

Passo 6

Agora, vamos igualar as duas expressões que obtivemos:
exp(i z) = exp(i overlinez) exp(b) (cos a + i sin a) = exp(b) (cos a - i sin a)
Podemos dividir ambos os lados por $ \exp(b) $ (desde que $ \exp(b) \neq 0 $, o que é sempre verdadeiro), obtendo:
exp(b)

Passo 7

Subtraindo $ \cos a $ de ambos os lados:
cos a
Adicionando $ i \sin a $ aos dois lados:
i sin a = -i sin a
Dividindo por $ 2 i $ (nova vez, que não é zero):
i sin a

Passo 8

A equação $ \sin a = 0 $ é satisfeita quando $ a $ é múltiplo inteiro de $ \pi $:
sin a = 0 é
Lembrando que $ z = a + b i $, isso significa que a parte real de $ z $ deve ser múltiplo de $ \pi $, e a parte imaginária $ b $ pode ser qualquer número real.

Resposta

Todos os números complexos $ z = a + b i $ onde a parte real $ a $ é múltiplo de $ \pi $. Ou seja, para todo inteiro $ k $,
z = a + b i

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