Qual a intersecção dos planos alpha: 2 x-3 y+z=2 e beta: x-2 y-z=1 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a intersecção dos planos alpha: 2x - 3y + z = 2 e beta: x - 2y - z = 1. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, mais especificamente com planos no espaço tridimensional. Para achar a intersecção dos planos, precisamos encontrar os pontos que satisfazem as duas equações simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos. Temos:
2x - 3y + z = 2 (1) x - 2y - z = 1 (2)
Vamos somar as duas equações para eliminar a variável z:
(2x - 3y + z) + (x - 2y - z) = 2 + 1
Simplificando:
3x - 5y = 3 (3)

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação (3) para uma das variáveis em termos da outra. Vamos escolher resolver para x:
3x = 5y + 3 x = 5y + 33
Aqui, escolhemos deixar y como parâmetro, já que estamos buscando uma linha de intersecção.

Passo 4

Com o valor de x em termos de y, vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar z:
x - 2y - z = 1 5y + 33 - 2y - z = 1
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:
5y + 3 - 6y - 3z = 3 - y - 3z = 0 y = -3z

Passo 5

Agora temos y em termos de z. Vamos escolher z como parâmetro, chamando-o de t. Assim:
z = t y = -3t x = 5(-3t) + 33 = -15t + 33 = -5t + 1

Passo 6

Finalmente, podemos expressar a intersecção dos planos como uma linha parametrizada por t:
x = 1 - 5t y = -3t z = t

Resposta

A intersecção dos planos alpha e beta é a reta definida pelas equações paramétricas:
x = 1 - 5t y = -3t z = t com t in R

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