Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar a intersecção dos planos e . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, mais especificamente com planos no espaço tridimensional. Para achar a intersecção dos planos, precisamos encontrar os pontos que satisfazem as duas equações simultaneamente.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos. Temos:
Vamos somar as duas equações para eliminar a variável :
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação (3) para uma das variáveis em termos da outra. Vamos escolher resolver para :
Aqui, escolhemos deixar como parâmetro, já que estamos buscando uma linha de intersecção.
Passo 4
Com o valor de em termos de , vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar :
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:
Passo 5
Agora temos em termos de . Vamos escolher como parâmetro, chamando-o de . Assim:
Passo 6
Finalmente, podemos expressar a intersecção dos planos como uma linha parametrizada por :
Resposta
A intersecção dos planos alpha e beta é a reta definida pelas equações paramétricas: