Calcule os limites a seguir:
lim x 1^+ x-1raiz2 x-x^2-1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto1^+dfracx-1raiz2x-x^2-1. Esse problema envolve limites e indeterminações do tipo 0/0, então vamos usar racionalização para resolver.

Passo 2

Ao substituir x=1 no numerador temos 1-1=0 e no denominador raiz2cdot1-1^2-1=1-1=0. Portanto, a expressão original é uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, multiplicamos numerador e denominador por (raiz2x-x^2+1)/(raiz2x-x^2+1), resultando em (x-1)(raiz2x-x^2+1)(raiz2x-x^2-1)(raiz2x-x^2+1). Como (raiz2x-x^2-1)(raiz2x-x^2+1)=2x-x^2-1, ficamos com
Repare que 2x-x^2-1=-(x-1)^2. Assim a expressão simplifica para $ -\dfrac{\sqrt{2x-x^2}+1}{x-1}$.

Passo 4

Quando xto1^+, o numerador raiz2x-x^2+1 tende a 1+1=2 e o denominador x-1 tende a 0^+. Isso faz a fração divergir para -infty.

Resposta

-\infty

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