Calculo 1 - Turma A
semestre de 2024 - 3 Avaliação - 19/02/2025
Calcule a integral de f(x)=x^2-3 x-6(x-4)(x-5)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral da função $ f(x) = \frac{x^{2} - 3x - 6}{(x - 4)(x - 5)^{2}} $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo 1, mais especificamente na área de integração de funções racionais. Para resolver, vamos usar um método chamado frações parciais, que ajuda a simplificar funções complexas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração $ \frac{x^{2} - 3x - 6}{(x - 4)(x - 5)^{2}} $ em frações mais simples. A ideia aqui é expressar essa função como a soma de frações com denominadores mais simples, que sejam mais fáceis de integrar.
Então, assumimos que:
x^2 - 3x - 6(x - 4)(x - 5)^2
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ (x - 4)(x - 5)^{2} $ para eliminar os denominadores:
(x - 4)(x - 5)^2
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito:
x^2 - 3x - 6 = A(x - 5)^2 + B(x - 4)(x - 5) + C(x - 4)
Distribuindo os termos:
x^2 - 3x - 6 = A(x^2 - 10x + 25) + B(x^2 - 9x + 20) + C(x - 4)

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 1 -10A - 9B + C = -3 25A + 20B - 4C = -6
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação, temos $ B = 1 - A $.
Substituindo $ B $ na segunda equação:
B = 1 - A
Agora, substituindo $ B $ e $ C $ na terceira equação:
B
Agora, encontramos:
-10A - 9(1 - A) + C = -3 Rightarrow -10A - 9 + 9A + C = -3 Rightarrow -A + C = 6 Rightarrow C = A + 6

Passo 5

Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, podemos reescrever a fração original:
A
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
B
Integrando termo a termo:
C

Resposta

Portanto, a integral de $ f(x) $ é:
f(x)

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