Calculo 1 - Turma A
semestre de 2024 - 3 Avaliação - 19/02/2025
Calcule a integral de
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semestre de 2024 - 3 Avaliação - 19/02/2025
Calcule a integral de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral da função $ f(x) = \frac{x^{2} - 3x - 6}{(x - 4)(x - 5)^{2}} $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo 1, mais especificamente na área de integração de funções racionais. Para resolver, vamos usar um método chamado frações parciais, que ajuda a simplificar funções complexas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração $ \frac{x^{2} - 3x - 6}{(x - 4)(x - 5)^{2}} $ em frações mais simples. A ideia aqui é expressar essa função como a soma de frações com denominadores mais simples, que sejam mais fáceis de integrar.
Então, assumimos que:
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ (x - 4)(x - 5)^{2} $ para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito:
Distribuindo os termos:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação, temos $ B = 1 - A $.
Substituindo $ B $ na segunda equação:
Agora, substituindo $ B $ e $ C $ na terceira equação:
Agora, encontramos:
Passo 5
Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, podemos reescrever a fração original:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Resposta
Portanto, a integral de $ f(x) $ é: