Calcule os limites a seguir:
lim x pm infty x(2 x^2-x+1)x^2(3 x+4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites
limxto+inftyxl(2x^2 - x + 1r)x^2(3x+4) e limxto-inftyxl(2x^2 - x + 1r)x^2(3x+4)
O conteúdo é cálculo de limites de funções racionais quando x tende a infinito, usando análise de termos dominantes nos polinômios.

Passo 2

Começamos escrevendo a função como uma única fração e fatoramos a maior potência de x (que é x^3) no numerador e no denominador:
x(2x^2 - x + 1)x^2(3x+4) = 2x^3 - x^2 + x3x^3 +4x^2 = x^3l(2 - tfrac1x + tfrac1x^2r)x^3l(3 + tfrac4xr) = 2 - tfrac1x + tfrac1x^23 + tfrac4x

Passo 3

Agora usamos o fato de que quando xtopminfty temos 1/xto0 e 1/x^2to0. Logo a expressão simplificada tende a
2 - 0 + 03 + 0 = 23

Passo 4

Como o resultado da expressão não depende do sinal de x no infinito, concluímos que ambos os limites são iguais a 2/3.

Resposta

limxto+inftyx(2x^2 - x + 1)x^2(3x+4) = 23 e limxto-inftyx(2x^2 - x + 1)x^2(3x+4) = 23.

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