Calcule os limites a seguir
lim x infty(1+2x)^x;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limx inftyl(1+2xr)^x
Esse tipo de limite envolve uma expressão no formato “( 1+ algo que vai a zero) elevado a algo que vai a infinito”. A técnica clássica é usar a função exponencial e o logaritmo natural para transformar esse tipo de limite.

Passo 2

Definimos
L = limxtoinftyl(1+2xr)^x
Como a base é positiva para x grande, podemos tomar logaritmo natural e passar o limite para dentro:
ln L = limxtoinfty x ,lnl(1+2xr)

Passo 3

Para calcular
limxtoinfty x ,lnl(1+2xr)
escrevemos a expressão como quociente e aplicamos l’Hôpital:
x,lnl(1+2xr) = lnl(1+2xr)1/x
Derivando numerador e denominador em relação a x:
ddxl[ln(1+2/x)r] = -2/x^21+2/x, ddxl[1/xr] = -1x^2
Logo,
limxtoinftyln(1+2/x)1/x = limxtoinfty-2/x^21+2/x-1/x^2 = limxtoinfty21+2/x = 2
Portanto ln L = 2.

Passo 4

Como ln L = 2, temos L = e^2.

Resposta

e^2

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