Usando a definição formal de limites, mostre que
lim x 0 x^2+2010 xx=2010

Passo 1

O enunciado pede para provar, pela definição formal de limite ( epsilon de<a), que
limxto0x^2+2010xx=2010
O conteúdo é a definição de limite de função real: “para todo epsilon>0 existe de<a>0 tal que, se 0<|x-0|<de<a, então l|f(x)-Lr|<epsilon”.

Passo 2

Note que, para xneq0, a expressão pode ser simplificada:
x^2+2010xx = x + 2010
Portanto, definimos f(x)=x+2010 para xneq0.

Passo 3

Queremos mostrar que f(x)to2010 quando xto0. Segundo a definição, dado epsilon>0, precisamos achar de<a>0 tal que, se 0<|x-0|<de<a, então
l|f(x)-2010r| <epsilon
Mas
l|f(x)-2010r| =l|(x+2010)-2010r| =|x|

Passo 4

Basta escolher
de<a = epsilon
De fato, se 0<|x|<de<a, então
l|f(x)-2010r|=|x|<de<a=epsilon,
o que fecha a prova pela definição formal de limite.

Resposta

Foi demonstrado que limxto0x^2+2010xx=2010.

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