Questão 2. Determine a equação do plano que contem a reta
(x, y, z)=(-8-3 t, 1,-2-t)
e é paralelo à reta
l 4 x+12 y-9 z+5=0 -x-2 y+3 z+4=0
Marque a alternativa que contem a distância da segunda reta ao plano encontrado.
(a)
114
(b)
27
(c)
1raiz14
(d)
314
(g) 6raiz14
(h) 4raiz14
3raiz14

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que contém a reta
(x,y,z)=(-8-3t,;1,;-2-t)
e é paralelo à reta dada pela interseção
4x+12y-9z+5=0, -,x-2y+3z+4=0
Em seguida, precisamos calcular a distância dessa segunda reta ao plano encontrado. Para isso vamos usar:
  1. Vetores direção de retas.
  2. Produto vetorial para obter o vetor normal ao plano.
  3. Equação geral de plano ncdot(x-x0)=0.
  4. Fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Extraímos o vetor direção da reta que está no plano (reta L1) e da reta paralela (reta L2):
– Na reta L1 temos o parâmetro t e
v1 = (-3,,0,,-1)
– A reta L2 é a interseção de dois planos, cujas normais são
,n1=(4,12,-9) e n2=(-1,-2,3).
O vetor direção de L2 é
v2 = n1 times n2 = (18,,-3,,4)

Passo 3

O vetor normal n do plano que contém L1 e é paralelo a L2 é dado por
n = v1 times v2 = (-3,0,-1)times(18,-3,4) = (-3,-6,9)
Dividindo por -3 para simplificar, obtemos
n = (1,2,-3)
Um ponto da reta L1 é P0=(-8,1,-2). Assim a equação do plano é
1,(x+8)+2,(y-1)-3,(z+2)=0
o que simplifica para
x + 2y - 3z = 0

Passo 4

Para calcular a distância da reta
podemos tomar . Substituindo na primeira:
logo . Um ponto em é

Passo 5

A distância de Q ao plano picolon x+2y-3z=0 é
dist(Q,pi) =l|1cdot(-17)+2cdot0-3cdot(-7)r|raiz1^2+2^2+(-3)^2 =|-17+21|raiz14 =4raiz14

Resposta

4raiz14 (alternativa (h))

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