Calcule os limites a seguir.
lim x +infty x+raiz[3]x^3-5 x^2-2raiz[3]x^3+1

Passo 1

O enunciado pede o limite quando xto+infty da expressão dfracx+raiz[3]x^3-5x^2-2raiz[3]x^3+1. O conteúdo envolve limites do tipo infty/infty e raízes cúbicas, e vamos precisar usar fatoração e expansão de binomial para raízes cúbicas.

Passo 2

Primeiro, note que em ambas as raízes cúbicas podemos “fatorar” x^3. Escrevemos:
x+raiz[3]x^3-5x^2-2raiz[3]x^3+1=x+raiz[3]x^3l(1-5x-2x^3r)raiz[3]x^3l(1+1x^3r)
Fatorando x dentro das raízes cúbicas:
=x + xraiz[3]1-5x-2x^3xraiz[3]1+1x^3 = 1 + raiz[3]1-5x-2x^3raiz[3]1+1x^3

Passo 3

Agora usamos a expansão de binomial para raízes cúbicas: se u é pequeno,
raiz[3]1+uapprox 1 + u3 + o(u)

Passo 4

No numerador, u=-5x-2x^3, logo
raiz[3]1-tfrac5x-tfrac2x^3approx 1 - 13l(5x+2x^3r)=1 - 53x - 23x^3
No denominador, u=1x^3, então
raiz[3]1+tfrac1x^3approx 1 + 13x^3

Passo 5

Substituindo essas aproximações:
1 + l(1 - 53x - 23x^3r)1 + 13x^3 = 2 - 53x - 23x^31 + 13x^3

Passo 6

Quando xto+infty, os termos com 1/x e 1/x^3 desaparecem, sobrando apenas
21=2

Resposta

2

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