Verifique se cada uma das sequências
a seguir são constantes, crescentes, decrescentes ou não são monótonas:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para verificar se ela é constante, crescente, decrescente ou não monótona. O conteúdo envolvido é estudo de monotonicidade de sequências, e vamos precisar comparar
com
.
Passo 2
Observamos que o fator
faz a sequência alternar de sinal: para
par,
; para
ímpar,
. Além disso, o denominador
é sempre positivo e cresce com
.
Passo 3
Para analisar a diferença, escrevemos:
Podemos fatorar
:
Passo 4
O termo entre colchetes é sempre negativo, pois soma de duas frações positivas com sinal negativo. Então:
- Se
for par, e , ou seja, . - Se
for ímpar, e , ou seja, .
Passo 5
Como o sinal de
alterna conforme
é par ou ímpar, a sequência ora sobe, ora desce, não satisfazendo monotonicidade crescente nem decrescente.
Resposta
A sequência não é monótona.