Verifique se cada uma das sequências an=(-1)^nn^3+5 n+10 a seguir são constantes, crescentes, decrescentes ou não são monótonas:

Passo 1

O enunciado dá a sequência an = (-1)^nn^3 + 5n + 10 e pede para verificar se ela é constante, crescente, decrescente ou não monótona. O conteúdo envolvido é estudo de monotonicidade de sequências, e vamos precisar comparar an+1 com an.

Passo 2

Observamos que o fator (-1)^n faz a sequência alternar de sinal: para n par, an>0; para n ímpar, an<0. Além disso, o denominador n^3+5n+10 é sempre positivo e cresce com n.

Passo 3

Para analisar a diferença, escrevemos:
an+1 - an = (-1)^n+11(n+1)^3 + 5(n+1) + 10 - (-1)^n1n^3 + 5n + 10
Podemos fatorar (-1)^n):
an+1 - an = (-1)^n[-1(n+1)^3 + 5(n+1) + 10 - 1n^3 + 5n + 10]

Passo 4

O termo entre colchetes é sempre negativo, pois soma de duas frações positivas com sinal negativo. Então:
  • Se n for par, (-1)^n = 1 e an+1 - an < 0, ou seja, an+1 < an.
  • Se n for ímpar, (-1)^n = -1 e an+1 - an > 0, ou seja, an+1 > an.

Passo 5

Como o sinal de an+1 - an alterna conforme n é par ou ímpar, a sequência ora sobe, ora desce, não satisfazendo monotonicidade crescente nem decrescente.

Resposta

A sequência não é monótona.

Exercícios relacionados