Verifique se cada uma das sequências an=7 n-42 n+1 a seguir são constantes, crescentes, decrescentes ou não são monótonas:

Passo 1

Temos a sequência definida por an = 7n - 42n + 1. O conteúdo aqui é monotonicidade de sequências reais, e para resolver vamos usar o teste da diferença entre termos consecutivos, isto é, an+1 - an.

Passo 2

Vamos primeiro calcular an+1:
an+1 = 7(n+1) - 42(n+1) + 1 = 7n + 32n + 3

Passo 3

Agora calculamos a diferença an+1 - an:
an+1 - an = 7n + 32n + 3 - 7n - 42n + 1
Colocando no mesmo denominador, o numerador fica
(7n + 3)(2n + 1) - (7n - 4)(2n + 3) = (14n^2 + 13n + 3) - (14n^2 + 13n - 12) = 15
O denominador é (2n+3)(2n+1) = 4n^2 + 8n + 3, que é positivo para todo n in N.

Passo 4

Como a diferença an+1 - an = 154n^2 + 8n + 3 é estritamente positiva para todo n, concluímos que a sequência não é constante nem decrescente, mas sim estritamente crescente.

Resposta

A sequência é estritamente crescente.

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