Calcule os limites a seguir.
lim x pi f(x) cos (x)+f(pi)x-pi, onde f: R R é diferenciável em x0=pi.

Passo 1

O enunciado pede
limxtopif(x)cos(x)+f(pi)x-pi,
sabendo que f é diferenciável em x0=pi.
Aqui vamos usar a ideia de limite do tipo 0/0 e o Teorema de L’Hôpital, ou então a expansão de Taylor de primeira ordem em torno de x=pi.

Passo 2

Verificamos que o numerador anula em x=pi:
f(pi)cos(pi)+f(pi) =f(pi)l(-1r)+f(pi)=0
Portanto temos forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
  • Numerador: dfracddxl[f(x)cos(x)+f(pi)r] =f'(x)cos(x)-f(x)sin(x)
  • Denominador: dfracddx,(x-pi)=1
    Logo,
limxtopif(x)cos(x)+f(pi)x-pi =limxtopil[f'(x)cos(x)-f(x)sin(x)r]
Avaliando em x=pi:
f'(pi)cos(pi)-f(pi)sin(pi) =f'(pi)cdot(-1)-f(pi)cdot0 =-f'(pi)

Resposta

limxtopif(x)cos(x)+f(pi)x-pi =-,f'(pi)

Exercícios relacionados