Calcule os limites a seguir
lim x 1 raiz[5](3-x^3)^4-161-x^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto1raiz[5](3-x^3)^4-161-x^3. Isso envolve uma indeterminação 0/0 no quociente interno, então vamos usar a regra de L’Hôpital para avaliar esse quociente e depois extrair a raiz quinta.

Passo 2

Definimos as funções f(x)=(3-x^3)^4-16 e g(x)=1-x^3. Note que f(1)=(3-1)^4-16=0 e g(1)=1-1=0, confirmando a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital calculando as derivadas:
f'(x)=4(3-x^3)^3cdot(-3x^2)=-12x^2(3-x^3)^3
g'(x)=-3x^2.

Passo 4

Avaliamoas derivadas em x=1:
f'(1)=-12cdot1^2cdot(3-1)^3=-12cdot8=-96
g'(1)=-3cdot1^2=-3
Logo o quociente interno tende a f'(1)g'(1)=-96-3=32.

Passo 5

Reconhecemos que 32=2^5, portanto raiz[5]32=2.

Resposta

2

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