Use, se possível, a Regra de L’Hospital para calcular os limites abaixo:
lim x 0^+ x^x

Passo 1

O problema pede para calcular limxto0^+ x^x, que envolve limites de funções com exponenciais e logaritmos, e sugere usar a Regra de L’Hôpital caso apareça forma indeterminada.

Passo 2

Reescrevemos x^x usando a exponencial para facilitar:
x^x = e^xln x

Passo 3

Assim,
limxto0^+ x^x = limxto0^+ e^xln x = e^limxto0^+ (xln x)

Passo 4

Agora analisamos o limite limxto0^+ xln x. Ele é da forma indeterminada 0cdot(-infty), então convertemos em quociente:
xln x = ln x1/x

Passo 5

Nesse quociente temos a forma (-infty)/(infty), permitindo aplicar L’Hôpital. Derivamos numerador e denominador:
num' = (ln x)' = 1x, den' = l(1/xr)' = -1x^2

Passo 6

Aplicando L’Hôpital:
limxto0^+ ln x1/x = limxto0^+ 1/x-1/x^2 = limxto0^+ (-x) = 0

Passo 7

Logo, limxto0^+ xln x = 0, e então
limxto0^+ x^x = e^0 = 1

Resposta

1

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