Calcule os limites a seguir
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen} 2 x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}2x)}{x}.
Informações relevantes que temos:
  • A função envolvida é a composição de senos: primeiro 2x, depois \operatorname{sen}(2x), e por fim \operatorname{sen}(\operatorname{sen}2x).
  • O limite é quando x tende a 0.
  • Não há mais dados numéricos; trata-se de usar propriedades dos limites e o comportamento de \operatorname{sen}t perto de t=0.

Passo 2

Lembra do limite fundamental que vamos usar várias vezes:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Vou explicar por que isso vale (de forma curta e intuitiva). Para t pequeno, a função \sin t tem praticamente o mesmo valor que t (em radianos). Uma prova clássica usa desigualdades geométricas para 0<t<\tfrac{\pi}{2}:
\cos t \le \frac{\sin t}{t} \le 1.
Tomando t\to 0 obtemos \cos t\to 1, logo por compressão (squeeze theorem)
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Para t negativos o mesmo resultado vale porque \sin(-t)=-\sin t e o quociente é par em t. Então o limite bilateral é 1.

Passo 3

Fazer uma substituição conveniente. Defina
u=\sin 2x.
Quando x\to 0 temos u\to 0 porque \sin é contínua. Reescrevendo a expressão do limite:
\frac{\sin(\sin 2x)}{x}=\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{u}{x}.
Isso é uma fatoração legítima (multiplicando e dividindo por u); para usar isso nos limites vamos analisar os limites de cada fator separadamente e depois multiplicá-los (regra: se \lim A e \lim B existem finitos, então \lim AB=(\lim A)(\lim B)).

Passo 4

Calcular os limites dos dois fatores.
  1. Para o primeiro fator, quando x\to 0 temos u\to 0, então usando o limite fundamental,
\lim_{x\to0}\frac{\sin u}{u}= \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.
  1. Para o segundo fator,
\frac{u}{x}=\frac{\sin 2x}{x}=2\cdot\frac{\sin 2x}{2x}.
Então
\lim_{x\to0}\frac{u}{x}=2\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{2x}=2\cdot 1 =2,
pois \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1 e aqui basta tomar t=2x.

Passo 5

Multiplicando os limites encontrados para os fatores:
\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin 2x)}{x}=\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin u}{u}\right)\cdot\left(\lim_{x\to0}\frac{u}{x}\right)=1\cdot 2=2.
Intuição curta: para x muito pequeno, \sin 2x\approx 2x e \sin(\sin 2x)\approx \sin(2x)\approx 2x, então a razão pela qual o limite é 2 faz sentido.

Resposta

2

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