Calcule os limites a seguir
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte: calcular
Informações relevantes que temos:
- A função envolvida é a composição de senos: primeiro
, depois , e por fim . - O limite é quando
tende a . - Não há mais dados numéricos; trata-se de usar propriedades dos limites e o comportamento de
perto de .
Passo 2
Lembra do limite fundamental que vamos usar várias vezes:
Vou explicar por que isso vale (de forma curta e intuitiva). Para
pequeno, a função
tem praticamente o mesmo valor que
(em radianos). Uma prova clássica usa desigualdades geométricas para
:
Tomando
obtemos
, logo por compressão (squeeze theorem)
Para
negativos o mesmo resultado vale porque
e o quociente é par em
. Então o limite bilateral é
.
Passo 3
Fazer uma substituição conveniente. Defina
Quando
temos
porque
é contínua. Reescrevendo a expressão do limite:
Isso é uma fatoração legítima (multiplicando e dividindo por
); para usar isso nos limites vamos analisar os limites de cada fator separadamente e depois multiplicá-los (regra: se
e
existem finitos, então
).
Passo 4
Calcular os limites dos dois fatores.
- Para o primeiro fator, quando
temos , então usando o limite fundamental,
- Para o segundo fator,
Então
pois
e aqui basta tomar
.
Passo 5
Multiplicando os limites encontrados para os fatores:
Intuição curta: para
muito pequeno,
e
, então a razão pela qual o limite é
faz sentido.
Resposta
2