Calcule os limites a seguir
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da função
Informações dadas:
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
.
Nada mais é fornecido explicitamente pelo enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos manipular a expressão para deixá‑la numa forma útil. Podemos fatorar
como
, logo
Isto é apenas álgebra: multiplicar e dividir por
para separar um fator
e um fator
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de cada fator quando
.
Começando pelo mais simples: o limite de
quando
é
porque funções polinomiais são contínuas e
. Em palavras:
fica muito pequeno e tende a
.
Passo 4
Agora precisamos do limite de
quando
. Para isso é conveniente recordar (e demonstrar) a desigualdade clássica que leva ao limite de
.
Para
vale, por um argumento geométrico com o círculo trigonométrico (comparando áreas do triângulo inscrito, do setor circular e do triângulo circunscrito), a desigualdade
onde
. Dividindo tudo por
(positivo) obtemos
A partir das duas desigualdades originais também se pode escrever, de forma mais usada,
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem): se uma função
satisfaz
e
, então
. Aqui temos
e
e
. Logo
Como
é o recíproco de
(e o limite do denominador é
), segue que
Observação rápida: essa argumentação vale para o limite bilateral porque
é função par (mesmo valor para
e
).
Passo 6
Voltando à expressão fatorada em
Passo 7
Como ambos os limites existem (o primeiro é
, o segundo é
), pela regra do limite do produto: