Calcule os limites a seguir
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a 0 da função
\frac{x^{3}}{\operatorname{sen} x}.
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{x^{3}}{\operatorname{sen} x}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    Nada mais é fornecido explicitamente pelo enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos manipular a expressão para deixá‑la numa forma útil. Podemos fatorar x^{3} como x^{2}\cdot x, logo
\frac{x^{3}}{\operatorname{sen} x}=x^{2}\cdot\frac{x}{\operatorname{sen} x}.
Isto é apenas álgebra: multiplicar e dividir por x para separar um fator x^{2} e um fator \dfrac{x}{\operatorname{sen} x}.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de cada fator quando x\to 0.
Começando pelo mais simples: o limite de x^{2} quando x\to 0 é
\lim_{x\to 0} x^{2}=0,
porque funções polinomiais são contínuas e 0^{2}=0. Em palavras: x^{2} fica muito pequeno e tende a 0.

Passo 4

Agora precisamos do limite de \dfrac{x}{\operatorname{sen} x} quando x\to 0. Para isso é conveniente recordar (e demonstrar) a desigualdade clássica que leva ao limite de \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}.
Para 0<x<\dfrac{\pi}{2} vale, por um argumento geométrico com o círculo trigonométrico (comparando áreas do triângulo inscrito, do setor circular e do triângulo circunscrito), a desigualdade
\operatorname{sen} x < x < \operatorname{tg} x,
onde \operatorname{tg} x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}. Dividindo tudo por x (positivo) obtemos
\frac{\operatorname{sen} x}{x} < 1 < \frac{\operatorname{tg} x}{x}=\frac{\operatorname{sen} x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}.
A partir das duas desigualdades originais também se pode escrever, de forma mais usada,
\cos x < \frac{\operatorname{sen} x}{x} < 1\qquad\text{para }0<x<\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem): se uma função g(x) satisfaz f(x)\le g(x)\le h(x) e \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L, então \lim_{x\to a} g(x)=L. Aqui temos
\cos x \le \frac{\operatorname{sen} x}{x} \le 1
e \lim_{x\to 0}\cos x=1 e \lim_{x\to 0}1=1. Logo
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Como \dfrac{x}{\operatorname{sen} x} é o recíproco de \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} (e o limite do denominador é 1\neq 0), segue que
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen} x}=1.
Observação rápida: essa argumentação vale para o limite bilateral porque \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} é função par (mesmo valor para x e -x).

Passo 6

Voltando à expressão fatorada em

Passo 7

\lim_{x\to 0} x^{2}\cdot\frac{x}{\operatorname{sen} x}=\left(\lim_{x\to 0} x^{2}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen} x}\right).
Como ambos os limites existem (o primeiro é 0, o segundo é 1), pela regra do limite do produto:
\lim_{x\to 0} x^{2}\cdot\frac{x}{\operatorname{sen} x}=0\cdot 1=0.

Resposta

0

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