Nos Exercícios de la 14 determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \operatorname{sen} \frac{\pi}{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\sin\frac{\pi}{n}
é convergente ou divergente. As informações dadas são:
  • O termo geral com sinal é (-1)^{n+1}\sin\frac{\pi}{n}.
  • A parte positiva (módulo) dos termos é a_n=\sin\frac{\pi}{n}.
    A tarefa é decidir se a série converge (e, se possível, dizer se converge absolutamente ou apenas condicionalmente).

Passo 2

Vou usar o teste de séries alternadas (teste de Leibniz) para verificar convergência, e depois verificar convergência absoluta. O teste de Leibniz exige verificar três coisas para a sequência a_n usada como módulo dos termos:
  1. a_n\ge 0 para todo n (ou pelo menos a partir de algum N);
  2. a_n é monótona decrescente a partir de algum N;
  3. \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
    Se essas três condições (eventualmente para n grandes) valem, então a série alternada converge. Remover ou alterar um número finito de termos não altera a convergência, então está ok verificar monotonicidade e limite a partir de algum índice.

Passo 3

Verificação de a_n\ge 0. Para n=1 temos a_1=\sin\frac{\pi}{1}=\sin\pi=0. Para n\ge 2 temos 0<\frac{\pi}{n}\le\frac{\pi}{2}, então \sin\frac{\pi}{n}>0. Logo a_n\ge0 para todo n, e estritamente positivo a partir de n=2.

Passo 4

Verificação da monotonicidade (eventual). Considere a função f(x)=\sin x. Em [0,\tfrac{\pi}{2}] a função f é crescente (pois f'(x)=\cos x>0 nessa faixa). Para n\ge 2 os argumentos \frac{\pi}{n} pertencem a (0,\tfrac{\pi}{2}]. Como n\mapsto\frac{\pi}{n} é decrescente, os valores a_n=\sin\frac{\pi}{n} também formam uma sequência decrescente para n\ge 2. Portanto a sequência a_n é monotona decrescente a partir de N=2. Isso satisfaz a segunda condição do teste de Leibniz (eventual monotonicidade é suficiente).

Passo 5

Verificação do limite nulo. Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{n}=0 e a função \sin x é contínua em 0, segue que
\lim_{n\to\infty}\sin\frac{\pi}{n}= \sin 0 = 0.
Assim a terceira condição do teste de Leibniz é satisfeita.

Passo 6

Conclusão pelo teste de Leibniz: as condições (não-negatividade a partir de n=1, monotonicidade para n\ge2 e limite zero) são satisfeitas, logo a série alternada
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\sin\frac{\pi}{n}
converge.

Passo 7

Agora investigar convergência absoluta. Estudamos a série dos módulos
\sum_{n=1}^{+\infty}\sin\frac{\pi}{n}.
Usamos o teste da comparação limite com a série harmônica \sum \frac{1}{n}. Calcule o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{1/n} = \lim_{n\to\infty} n\sin\frac{\pi}{n}.
Coloque x_n=\frac{\pi}{n}, então x_n\to 0 e n\sin\frac{\pi}{n}=\frac{\sin x_n}{x_n}\,\pi. Como \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, obtemos
\lim_{n\to\infty} n\sin\frac{\pi}{n} = \pi.
Esse limite é um número finito e positivo, portanto pela comparação limite a série \sum \sin\frac{\pi}{n} tem o mesmo comportamento que \sum \frac{1}{n}. Como a série harmônica \sum \frac{1}{n} diverge, segue que \sum \sin\frac{\pi}{n} também diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 8

Conclusão final: a série converge pelo teste de Leibniz (convergência condicional), mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge). Parabéns — a resposta é que a série é convergente, porém condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge, mas não é absolutamente convergente).

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