Nos Exercícios de la 14 determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. As informações dadas são:
- O termo geral com sinal é
. - A parte positiva (módulo) dos termos é
.
A tarefa é decidir se a série converge (e, se possível, dizer se converge absolutamente ou apenas condicionalmente).
Passo 2
Vou usar o teste de séries alternadas (teste de Leibniz) para verificar convergência, e depois verificar convergência absoluta. O teste de Leibniz exige verificar três coisas para a sequência
usada como módulo dos termos:
-
para todo (ou pelo menos a partir de algum ); -
é monótona decrescente a partir de algum ; -
.
Se essas três condições (eventualmente paragrandes) valem, então a série alternada converge. Remover ou alterar um número finito de termos não altera a convergência, então está ok verificar monotonicidade e limite a partir de algum índice.
Passo 3
Verificação de
. Para
temos
. Para
temos
, então
. Logo
para todo
, e estritamente positivo a partir de
.
Passo 4
Verificação da monotonicidade (eventual). Considere a função
. Em
a função
é crescente (pois
nessa faixa). Para
os argumentos
pertencem a
. Como
é decrescente, os valores
também formam uma sequência decrescente para
. Portanto a sequência
é monotona decrescente a partir de
. Isso satisfaz a segunda condição do teste de Leibniz (eventual monotonicidade é suficiente).
Passo 5
Verificação do limite nulo. Como
e a função
é contínua em
, segue que
Assim a terceira condição do teste de Leibniz é satisfeita.
Passo 6
Conclusão pelo teste de Leibniz: as condições (não-negatividade a partir de
, monotonicidade para
e limite zero) são satisfeitas, logo a série alternada
converge.
Passo 7
Agora investigar convergência absoluta. Estudamos a série dos módulos
Usamos o teste da comparação limite com a série harmônica
. Calcule o limite
Coloque
, então
e
. Como
, obtemos
Esse limite é um número finito e positivo, portanto pela comparação limite a série
tem o mesmo comportamento que
. Como a série harmônica
diverge, segue que
também diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.
Passo 8
Conclusão final: a série converge pelo teste de Leibniz (convergência condicional), mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge). Parabéns — a resposta é que a série é convergente, porém condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge, mas não é absolutamente convergente).