Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Também é útil saber os valores das funções trigonométricas no ponto de aproximação:
Passo 2
Testando a substituição direta: ao colocar
,
Logo obtemos uma forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite pela substituição direta e precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Vamos usar uma identidade trigonométrica básica para transformar a expressão. A identidade é
Explicando: a última igualdade vem da identidade pitagórica
. Aqui
é a mesma coisa que
. A ideia é reescrever
como produto de
por
para cancelar o fator
que aparece no denominador (após fatorar o
).
Passo 4
Começamos manipulando a expressão original fatorando
no denominador:
Agora substituímos
pela identidade do passo anterior:
Podemos cancelar o fator comum
(desde que
não seja exatamente tal que o fator seja zero, mas estamos apenas olhando o limite), ficando
Passo 5
Agora o limite ficou simples, pois a expressão reduzida é contínua no ponto:
Usando
temos
Passo 6
Comentário final rápido (motivo da escolha do método): usei a identidade trigonométrica e cancelamento porque é um método algébrico direto e rápido que evita derivadas. A alternativa seria aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador), que também daria o mesmo resultado, mas é mais trabalhosa aqui; a identidade é mais simples e ensinável na prova.