Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{3 \cos ^{2}(x)}{2-2 \operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{3\cos^{2}(x)}{2-2\operatorname{sen}(x)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{numerador} = 3\cos^{2}(x),\qquad \text{denominador} = 2-2\operatorname{sen}(x).
Também é útil saber os valores das funções trigonométricas no ponto de aproximação:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.

Passo 2

Testando a substituição direta: ao colocar x=\frac{\pi}{2},
\text{numerador}\to 3\cdot 0^{2}=0,\qquad \text{denominador}\to 2-2\cdot 1=0.
Logo obtemos uma forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite pela substituição direta e precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Vamos usar uma identidade trigonométrica básica para transformar a expressão. A identidade é
(1-\operatorname{sen}x)(1+\operatorname{sen}x)=1-\operatorname{sen}^{2}x=\cos^{2}x.
Explicando: a última igualdade vem da identidade pitagórica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Aqui \operatorname{sen}x é a mesma coisa que \sin x. A ideia é reescrever \cos^{2}x como produto de (1-\operatorname{sen}x) por (1+\operatorname{sen}x) para cancelar o fator 1-\operatorname{sen}x que aparece no denominador (após fatorar o 2).

Passo 4

Começamos manipulando a expressão original fatorando 2 no denominador:
\frac{3\cos^{2}(x)}{2-2\operatorname{sen}(x)}=\frac{3\cos^{2}(x)}{2(1-\operatorname{sen}x)}.
Agora substituímos \cos^{2}(x) pela identidade do passo anterior:
\frac{3\cos^{2}(x)}{2(1-\operatorname{sen}x)}=\frac{3(1-\operatorname{sen}x)(1+\operatorname{sen}x)}{2(1-\operatorname{sen}x)}.
Podemos cancelar o fator comum (1-\operatorname{sen}x) (desde que x não seja exatamente tal que o fator seja zero, mas estamos apenas olhando o limite), ficando
\frac{3\cos^{2}(x)}{2-2\operatorname{sen}(x)}=\frac{3}{2}\bigl(1+\operatorname{sen}x\bigr)\quad\text{para }x\neq \frac{\pi}{2}.

Passo 5

Agora o limite ficou simples, pois a expressão reduzida é contínua no ponto:
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{3}{2}\bigl(1+\operatorname{sen}x\bigr)=\frac{3}{2}\bigl(1+\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\bigr).
Usando \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 temos
\frac{3}{2}(1+1)=\frac{3}{2}\cdot 2=3.

Passo 6

Comentário final rápido (motivo da escolha do método): usei a identidade trigonométrica e cancelamento porque é um método algébrico direto e rápido que evita derivadas. A alternativa seria aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador), que também daria o mesmo resultado, mas é mais trabalhosa aqui; a identidade é mais simples e ensinável na prova.

Resposta

3

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