Resolva o PVI, determinando a solução particular correspondente:
\left\{\begin{array}{l}\cot g y d x+\cot g x d y=0 \\\ y(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede resolver o PVI dado por
\begin{cases} \cot y\,dx+\cot x\,dy=0,\\[4pt] y(0)=0. \end{cases}
Informações dadas:
  • A equação diferencial está escrita na forma de 1-forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=\cot y e N(x,y)=\cot x.
  • A condição inicial é o ponto (x,y)=(0,0).
  • Temos de obter a solução particular que satisfaça a condição inicial.
    (Observação: a equação contém funções trigonométricas com singularidades em pontos onde \sin x=0 ou \sin y=0; isso vai influenciar a manipulação algébrica e o domínio das soluções.)]

Passo 2

Primeira manipulação algébrica útil: tentar transformar a 1-forma para uma forma integrável mais simples. Se multiplicarmos a equação por \sin x\sin y (atenção aos pontos em que isso é zero), obtemos
\sin x\sin y\big(\cot y\,dx+\cot x\,dy\big)=0.
Usando \cot u=\dfrac{\cos u}{\sin u}, os termos ficam
\sin x\sin y\cdot\cot y\,dx=\sin x\sin y\cdot\frac{\cos y}{\sin y}\,dx=\sin x\cos y\,dx,
\sin x\sin y\cdot\cot x\,dy=\cos x\sin y\,dy.
Logo a equação multiplicada fica
\sin x\cos y\,dx+\cos x\sin y\,dy=0.

Passo 3

Reconheça que a expressão à esquerda é (menos) a diferencial de \cos x\cos y. Para ver isso, calcule d(\cos x\cos y):
d(\cos x\cos y) = d(\cos x)\cdot\cos y + \cos x\cdot d(\cos y) = (-\sin x\,dx)\cos y + \cos x(-\sin y\,dy),
portanto
d(\cos x\cos y) = -\big(\sin x\cos y\,dx + \cos x\sin y\,dy\big).
Comparando com o passo anterior, vemos que
\sin x\cos y\,dx+\cos x\sin y\,dy = -d(\cos x\cos y).
Como a soma é zero, obtemos
-d(\cos x\cos y)=0\quad\Rightarrow\quad d(\cos x\cos y)=0.

Passo 4

Integrando a igualdade d(\cos x\cos y)=0 obtemos que \cos x\cos y é constante ao longo das curvas solução. Logo a solução geral implícita é
\cos x\cos y=C,
onde C é uma constante real a ser determinada pela condição inicial. (Comentário didático: essa é uma forma comum de resolver diferenciais que podem ser transformadas num diferencial exato — aqui encontramos uma combinação cujo diferencial é zero, logo é constante.)

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=0: substituímos x=0, y=0 na solução implícita para achar C:
\cos 0\cdot\cos 0 = 1\cdot 1 = 1,
logo C=1. A solução particular implícita associada à condição inicial é
\cos x\cos y=1.

Passo 6

Análise do que essa igualdade significa e discussão de existência local de y(x). Da relação \cos x\cos y=1 se obtém
\cos y=\frac{1}{\cos x}.
Mas |\cos y|\le 1 para todo y real, logo a igualdade só pode ocorrer quando \left|\dfrac{1}{\cos x}\right|\le 1, isto é |\cos x|\ge 1. Como |\cos x|\le 1 sempre, a única possibilidade é |\cos x|=1, ou seja \cos x=\pm1. Para o produto ser +1 precisamos \cos x=1 e \cos y=1 (ou \cos x=-1 e \cos y=-1), o que restringe fortemente os pontos possíveis. Em particular, numa vizinhança de x=0 (onde \cos 0=1) para x pequeno não nulo temos \cos x<1 e portanto 1/\cos x>1, o que torna impossível existir y real tal que \cos y=1/\cos x. Conclusão: embora a curva implícita \cos x\cos y=1 passe pelo ponto (0,0), não existe função y(x) de classe C^1 definida em um intervalo aberto em torno de x=0 que satisfaça a equação e a condição inicial — a igualdade só é satisfeita isoladamente no ponto x=0,y=0.

Passo 7

Comentário sobre singularidades e validade das operações: ao dividir ou multiplicar por \sin x\sin y ou por \cot x\cot y devemos garantir que esses factores não sejam zero; no problema original a condição inicial está num ponto singular ( \sin 0=0), portanto o PVI não satisfaz as hipóteses padrão do teorema de existência e unicidade, e aparecem as dificuldades apontadas acima.

Resposta

\cos x\cos y=1 (constante C=1).
Não existe função y(x) de classe C^1 definida em um intervalo aberto contendo x=0 que satisfaça a equação e y(0)=0; o ponto (0,0) é um ponto singular e a condição inicial só é satisfeita isoladamente.

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