Calcule os limites a seguir
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte limite:
Informações dadas pelo enunciado:
- A função no numerador é
. - O denominador é
. - O ponto de interesse é
.
Não há imagens nem outros dados adicionais.
Passo 2
Vamos analisar o numerador separando-o em duas partes e usando propriedades básicas de limites. Primeiro, recordar a ideia que vou usar (sem detalhes técnicos pesados): se duas funções
e
têm limite quando
, então o limite de
é a diferença dos limites. Aqui aplicamos isso com
e
. Portanto:
Agora vamos calcular cada um desses limites separadamente.
Passo 3
Calcular
. Polinômios são funções contínuas, isto é, o limite em um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Assim:
Passo 4
Calcular
. A função cosseno é contínua e a composição de funções contínuas é contínua; portanto podemos simplesmente substituir
dentro de
:
Usamos agora duas propriedades do cosseno: é uma função par (
) e tem período
(logo
). Assim
Portanto o limite do numerador é
Passo 5
Calcular o limite do denominador:
Observe que este limite é diferente de zero, o que é importante para podermos dividir pelos limites.
Passo 6
Aplicar a propriedade do limite do quociente: se
e
com
, então
Aqui já encontramos
(numerador) e
(denominador) com
. Portanto o limite pedido existe e é a razão desses limites.
Resposta
-\dfrac{3}{4}