Calcule os limites a seguir
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}-\cos (\pi x)}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte limite:
\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}-\cos(\pi x)}{x-2}.
Informações dadas pelo enunciado:
  • A função no numerador é x^{2}-\cos(\pi x).
  • O denominador é x-2.
  • O ponto de interesse é x\to-2.
    Não há imagens nem outros dados adicionais.

Passo 2

Vamos analisar o numerador separando-o em duas partes e usando propriedades básicas de limites. Primeiro, recordar a ideia que vou usar (sem detalhes técnicos pesados): se duas funções f e g têm limite quando x\to a, então o limite de f-g é a diferença dos limites. Aqui aplicamos isso com f(x)=x^{2} e g(x)=\cos(\pi x). Portanto:
\lim_{x\to-2}\bigl(x^{2}-\cos(\pi x)\bigr) = \lim_{x\to-2}x^{2}-\lim_{x\to-2}\cos(\pi x).
Agora vamos calcular cada um desses limites separadamente.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to-2}x^{2}. Polinômios são funções contínuas, isto é, o limite em um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Assim:
\lim_{x\to-2}x^{2}=(-2)^{2}=4.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to-2}\cos(\pi x). A função cosseno é contínua e a composição de funções contínuas é contínua; portanto podemos simplesmente substituir x=-2 dentro de \cos(\pi x):
\lim_{x\to-2}\cos(\pi x)=\cos(\pi\cdot(-2))=\cos(-2\pi).
Usamos agora duas propriedades do cosseno: é uma função par ( \cos(-\theta)=\cos\theta) e tem período 2\pi (logo \cos(2\pi)=1). Assim
\cos(-2\pi)=\cos(2\pi)=1.
Portanto o limite do numerador é
\lim_{x\to-2}\bigl(x^{2}-\cos(\pi x)\bigr)=4-1=3.

Passo 5

Calcular o limite do denominador:
\lim_{x\to-2}(x-2)=(-2)-2=-4.
Observe que este limite é diferente de zero, o que é importante para podermos dividir pelos limites.

Passo 6

Aplicar a propriedade do limite do quociente: se \lim_{x\to a}u(x)=U e \lim_{x\to a}v(x)=V com V\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{U}{V}.
Aqui já encontramos U=3 (numerador) e V=-4 (denominador) com V\neq0. Portanto o limite pedido existe e é a razão desses limites.

Resposta

-\dfrac{3}{4}

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