Calcule os limites a seguir
\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{18 x}-12}{\sqrt[3]{27 x}-6}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 8}\frac{\sqrt{18x}-12}{\sqrt[3]{27x}-6}.
Informações dadas e observações diretas:
  • O numerador ao substituir x=8 fica \sqrt{18\cdot 8}-12=\sqrt{144}-12=12-12=0.
  • O denominador ao substituir x=8 fica \sqrt[3]{27\cdot 8}-6=\sqrt[3]{216}-6=6-6=0.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Escolha do método: quando um limite dá a forma indeterminada 0/0 e as funções envolvidas são diferenciáveis numa vizinhança do ponto, uma técnica eficiente é aplicar a regra de L’Hôpital, que transforma o limite da razão em limite da razão das derivadas. Aqui as funções são raízes de funções lineares em x, cujas derivadas são simples de calcular, então L’Hôpital é apropriado e rápido.

Passo 3

L’Hôpital (forma básica): se \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=0 e \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0, e f e g são diferenciáveis em torno de a com g'(x)\neq 0 próximo de a (exceto talvez em a), então, se existir,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=\sqrt{18x}-12=(18x)^{1/2}-12 e g(x)=\sqrt[3]{27x}-6=(27x)^{1/3}-6. Ambas são diferenciáveis perto de x=8, então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Derivada do numerador: calcular f'(x) para f(x)=(18x)^{1/2}.
Regra usada (cadeia + potência): se h(x)=(kx)^m com constantes k,m, então
h'(x)=m\cdot k\cdot (k x)^{m-1},
porque primeiro deriva-se a potência (\,\cdot\,)^m e depois multiplica pelo derivado do interior kx, que é k.
Aplicando com k=18 e m=\tfrac{1}{2}:
f'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot 18\cdot (18x)^{-1/2}=9\,(18x)^{-1/2}=\frac{9}{\sqrt{18x}}.

Passo 5

Derivada do denominador: calcular g'(x) para g(x)=(27x)^{1/3}.
Usando a mesma fórmula com k=27 e m=\tfrac{1}{3}:
g'(x)=\tfrac{1}{3}\cdot 27\cdot (27x)^{-2/3}=9\,(27x)^{-2/3}=\frac{9}{(27x)^{2/3}}.
Observação útil: (27x)^{2/3}=\big(\sqrt[3]{27x}\,\big)^2.

Passo 6

Aplicar L’Hôpital e avaliar as derivadas em x=8. Primeiro f'(8):
f'(8)=\frac{9}{\sqrt{18\cdot 8}}=\frac{9}{\sqrt{144}}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.

Passo 7

Agora g'(8):
g'(8)=\frac{9}{(27\cdot 8)^{2/3}}=\frac{9}{216^{2/3}}.
Como \sqrt[3]{216}=6, tem-se 216^{2/3}=(\sqrt[3]{216})^2=6^2=36. Logo
g'(8)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}.

Passo 8

Tomando a razão das derivadas:
\lim_{x\to 8}\frac{\sqrt{18x}-12}{\sqrt[3]{27x}-6} =\frac{f'(8)}{g'(8)}=\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{1}{4}}=3.

Resposta

3

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