Calcule os limites a seguir
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações diretas:
- O numerador ao substituir
fica . - O denominador ao substituir
fica . - Portanto a expressão tem a forma indeterminada
.
Passo 2
Escolha do método: quando um limite dá a forma indeterminada
e as funções envolvidas são diferenciáveis numa vizinhança do ponto, uma técnica eficiente é aplicar a regra de L’Hôpital, que transforma o limite da razão em limite da razão das derivadas. Aqui as funções são raízes de funções lineares em
, cujas derivadas são simples de calcular, então L’Hôpital é apropriado e rápido.
Passo 3
L’Hôpital (forma básica): se
e
, e
e
são diferenciáveis em torno de
com
próximo de
(exceto talvez em
), então, se existir,
Aqui
e
. Ambas são diferenciáveis perto de
, então podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Derivada do numerador: calcular
para
.
Regra usada (cadeia + potência): se
com constantes
, então
porque primeiro deriva-se a potência
e depois multiplica pelo derivado do interior
, que é
.
Aplicando com
e
:
Passo 5
Derivada do denominador: calcular
para
.
Usando a mesma fórmula com
e
:
Observação útil:
.
Passo 6
Aplicar L’Hôpital e avaliar as derivadas em
. Primeiro
:
Passo 7
Agora
:
Como
, tem-se
. Logo
Passo 8
Tomando a razão das derivadas: