Calcule os limites a seguir
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A função é a razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - O ponto de interesse é
(limite bilateral).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão factorizando potências de
. Isso ajuda porque, perto de zero, termos com potências maiores são muito menores que termos com potências menores. Primeiro fatoramos
no numerador e
no denominador:
Agora podemos cancelar um fator
(desde que
, o que vale para limites) e obter:
Passo 3
Explicar o comportamento de cada parte quando
:
- O numerador
tende para quando , porque e . Logo o numerador aproxima-se de um número positivo (próximo de ). - O fator
no denominador tende para quando , e é sempre positivo para (pois é potência par). - O outro fator do denominador,
, tende para quando , ou seja, é negativo para suficientemente próximo de (por exemplo para ).
Portanto, para
pequeno (mas não zero) o denominador
é um número com magnitude muito pequena e sinal negativo.
Passo 4
Comportamento da razão: como o numerador aproxima-se de
e o denominador aproxima-se de
por valores negativos, a fração tem módulo que cresce sem limite e sinal negativo. Para ser mais explícito, os limites laterais são:
- Para
: , , , logo . - Para
: idem, pois e também; portanto .
Como ambos os lados tendem para
, o limite bilateral tende para
.