Calcule os limites a seguir
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{9}+2 x^{2}+x}{x^{7}-x^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{x^{9}+2x^{2}+x}{x^{7}-x^{5}}.
Informações dadas:
  • A função é a razão de dois polinômios: numerador x^{9}+2x^{2}+x e denominador x^{7}-x^{5}.
  • O ponto de interesse é x\to 0 (limite bilateral).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão factorizando potências de x. Isso ajuda porque, perto de zero, termos com potências maiores são muito menores que termos com potências menores. Primeiro fatoramos x no numerador e x^{5} no denominador:
\frac{x^{9}+2x^{2}+x}{x^{7}-x^{5}} = \frac{x\bigl(x^{8}+2x+1\bigr)}{x^{5}\bigl(x^{2}-1\bigr)}.
Agora podemos cancelar um fator x (desde que x\neq0, o que vale para limites) e obter:
\frac{x^{9}+2x^{2}+x}{x^{7}-x^{5}} = \frac{1+2x+x^{8}}{x^{4}\bigl(x^{2}-1\bigr)}.

Passo 3

Explicar o comportamento de cada parte quando x\to 0:
  • O numerador 1+2x+x^{8} tende para 1 quando x\to 0, porque 2x\to 0 e x^{8}\to 0. Logo o numerador aproxima-se de um número positivo (próximo de 1).
  • O fator x^{4} no denominador tende para 0 quando x\to 0, e é sempre positivo para x\neq0 (pois é potência par).
  • O outro fator do denominador, x^{2}-1, tende para -1 quando x\to 0, ou seja, é negativo para x suficientemente próximo de 0 (por exemplo para |x|<1).
Portanto, para x pequeno (mas não zero) o denominador x^{4}(x^{2}-1) é um número com magnitude muito pequena e sinal negativo.

Passo 4

Comportamento da razão: como o numerador aproxima-se de 1>0 e o denominador aproxima-se de 0 por valores negativos, a fração tem módulo que cresce sem limite e sinal negativo. Para ser mais explícito, os limites laterais são:
  • Para x\to 0^+: 1+2x+x^{8}\to 1>0, x^{4}>0, x^{2}-1<0, logo \dfrac{1+2x+x^{8}}{x^{4}(x^{2}-1)}\to -\infty.
  • Para x\to 0^-: idem, pois x^{4}>0 e x^{2}-1<0 também; portanto \dfrac{1+2x+x^{8}}{x^{4}(x^{2}-1)}\to -\infty.
Como ambos os lados tendem para -\infty, o limite bilateral tende para -\infty.

Resposta

-\infty

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