Calcule os limites a seguir
\lim _{x \rightarrow \pi / 2}[\cos (\pi / 2-x)-\operatorname{sen}(x)]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular \displaystyle \lim_{x\to \pi/2}\big[\cos\big(\tfrac{\pi}{2}-x\big)-\operatorname{sen}(x)\big].
  • As informações dadas são as duas funções trigonométricas presentes: \cos e \operatorname{sen} (ou seja, \sin).
  • O ponto de interesse é x=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Relembrar e demonstrar uma identidade trigonométrica útil (não pule etapas): a fórmula do cosseno da diferença de dois ângulos é
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b,
onde a e b são quaisquer ângulos. Aqui cada símbolo significa:
  • \cos(\cdot) é a função cosseno;
  • \sin(\cdot) é a função seno;
  • a e b são ângulos (variáveis).
Vamos aplicar essa fórmula com a=\tfrac{\pi}{2} e b=x. Substituindo na fórmula obtemos
\cos\Big(\tfrac{\pi}{2}-x\Big)=\cos\Big(\tfrac{\pi}{2}\Big)\cos x+\sin\Big(\tfrac{\pi}{2}\Big)\sin x.
Agora usamos os valores conhecidos \cos\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0 e \sin\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1. Assim
\cos\Big(\tfrac{\pi}{2}-x\Big)=0\cdot\cos x+1\cdot\sin x=\sin x.

Passo 3

Substituir a identidade encontrada na expressão do limite. Como mostramos,
\cos\Big(\tfrac{\pi}{2}-x\Big)=\sin x,
então a expressão dentro do limite fica
\cos\Big(\tfrac{\pi}{2}-x\Big)-\operatorname{sen}(x)=\sin x-\sin x=0
para todo x. Ou seja, a função cujo limite precisamos calcular é a função constante 0.

Passo 4

Usar uma propriedade básica de limites: o limite de uma função constante é a própria constante. Como a função é exatamente 0 em todos os pontos (portanto também numa vizinhança de \tfrac{\pi}{2}), temos
\lim_{x\to \tfrac{\pi}{2}}\big[\cos\big(\tfrac{\pi}{2}-x\big)-\operatorname{sen}(x)\big]=0.
(Alternativamente: por continuidade das funções trigonométricas, poderia-se também fazer substituição direta após simplificar a expressão.)

Resposta

0

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