Calcule os limites a seguir
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular
. - As informações dadas são as duas funções trigonométricas presentes:
e (ou seja, ). - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Relembrar e demonstrar uma identidade trigonométrica útil (não pule etapas): a fórmula do cosseno da diferença de dois ângulos é
onde
e
são quaisquer ângulos. Aqui cada símbolo significa:
-
é a função cosseno; -
é a função seno; -
e são ângulos (variáveis).
Vamos aplicar essa fórmula com
e
. Substituindo na fórmula obtemos
Agora usamos os valores conhecidos
e
. Assim
Passo 3
Substituir a identidade encontrada na expressão do limite. Como mostramos,
então a expressão dentro do limite fica
para todo
. Ou seja, a função cujo limite precisamos calcular é a função constante
.
Passo 4
Usar uma propriedade básica de limites: o limite de uma função constante é a própria constante. Como a função é exatamente
em todos os pontos (portanto também numa vizinhança de
), temos
(Alternativamente: por continuidade das funções trigonométricas, poderia-se também fazer substituição direta após simplificar a expressão.)