Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. A pergunta é simplesmente o valor do limite quando
se aproxima de
.
Passo 2
Verificar se é possível usar substituição direta (ou seja, avaliar a expressão em
). Para isso, preciso checar se o denominador em
é diferente de zero. Calculo o denominador em
:
Como
, o denominador não anula em
.
Calcular o numerador em :
Calcular o numerador em
Passo 3
Como o numerador e o denominador têm valores finitos e o denominador é diferente de zero em
, a operação de divisão é bem definida no ponto. Portanto o valor do limite é o quociente dos valores obtidos para o numerador e o denominador avaliados em
.
Pequena explicação didática (por que isso vale):
Pequena explicação didática (por que isso vale):
- Polinômios (como
e ) são funções contínuas: o limite ao se aproximar de um ponto é igual ao valor da função nesse ponto. - Uma razão de polinômios (uma função racional) é contínua em pontos onde o denominador não é zero. Logo, se ao substituir
o denominador for diferente de zero, vale
- Se o denominador fosse zero ao substituir, teríamos uma forma indeterminada
e precisaríamos de outros métodos (fatoração, simplificação, regra de l’Hôpital, desenvolvimento em série, etc.). Exemplo rápido: dá , mas fatorando para e o limite é .
Passo 4
Aplicando a ideia do passo anterior ao nosso caso, usamos os valores do passo 2 e do passo 3 para obter o quociente final e, portanto, o limite buscado.
Resposta
-1