Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}-2 x^{2}+1}{x^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to 0}\frac{x^{3}-2x^{2}+1}{x^{3}-1}.
Informações dadas: o numerador é x^{3}-2x^{2}+1 e o denominador é x^{3}-1. A pergunta é simplesmente o valor do limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Verificar se é possível usar substituição direta (ou seja, avaliar a expressão em x=0). Para isso, preciso checar se o denominador em x=0 é diferente de zero. Calculo o denominador em x=0:
0^{3}-1=-1.
Como -1\neq 0, o denominador não anula em x=0.
Calcular o numerador em x=0:
0^{3}-2\cdot0^{2}+1=1.

Passo 3

Como o numerador e o denominador têm valores finitos e o denominador é diferente de zero em x=0, a operação de divisão é bem definida no ponto. Portanto o valor do limite é o quociente dos valores obtidos para o numerador e o denominador avaliados em x=0.
Pequena explicação didática (por que isso vale):
  • Polinômios (como x^{3}-2x^{2}+1 e x^{3}-1) são funções contínuas: o limite ao se aproximar de um ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
  • Uma razão de polinômios (uma função racional) é contínua em pontos onde o denominador não é zero. Logo, se ao substituir x=a o denominador for diferente de zero, vale
\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}.
  • Se o denominador fosse zero ao substituir, teríamos uma forma indeterminada 0/0 e precisaríamos de outros métodos (fatoração, simplificação, regra de l’Hôpital, desenvolvimento em série, etc.). Exemplo rápido: \lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1} 0/0, mas fatorando \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 para x\neq1 e o limite é 2.

Passo 4

Aplicando a ideia do passo anterior ao nosso caso, usamos os valores do passo 2 e do passo 3 para obter o quociente final e, portanto, o limite buscado.

Resposta

-1

Exercícios relacionados