Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular o limite
Informações relevantes: a variável
tende para menos infinito (
); a expressão é uma função racional com numerador constante
e denominador linear
.
Passo 2
Intuição primeiro (para ganhar confiança): quando
fica muito grande, o termo
domina o termo constante
no denominador. Assim, para
com grande módulo,
se parece com
. Como
tende a zero quando
, esperamos que o limite seja
. Observação sobre sinal: para
temos
, então a fração será negativa, aproximando-se de
pela esquerda (ou seja,
).
Passo 3
Vamos transformar a expressão de forma algébrica para aplicar regras de limite com segurança. Dividimos numerador e denominador por
(note que isso é válido para
; estamos examinando
com grande módulo, então é legítimo):
Agora aplicamos limites às partes: quando
vale
pois
quando
. Usando as regras de limite (limite de quociente quando denominador não tende a zero):
Passo 4
Comentário didático geral (regra prática para a prova): para funções racionais, se o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador, o limite quando
é sempre
. Aqui o numerador tem grau
e o denominador tem grau
, então o resultado
confirma essa regra. Exemplo rápido:
.
Pequena observação sobre o sentido da aproximação: como mencionado no Passo 2, para
o denominador
é negativo, logo a função é negativa para
suficientemente negativo. Assim o valor da função aproxima-se de
por valores negativos (tende a
), mas o limite numérico é
.