Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5}{2 x-3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{5}{2x-3}.
Informações relevantes: a variável x tende para menos infinito ( x\to-\infty); a expressão é uma função racional com numerador constante 5 e denominador linear 2x-3.

Passo 2

Intuição primeiro (para ganhar confiança): quando |x| fica muito grande, o termo 2x domina o termo constante -3 no denominador. Assim, para x com grande módulo, \frac{5}{2x-3} se parece com \frac{5}{2x}. Como \frac{5}{2x} tende a zero quando |x|\to\infty, esperamos que o limite seja 0. Observação sobre sinal: para x\to-\infty temos 2x<0, então a fração será negativa, aproximando-se de 0 pela esquerda (ou seja, 0^-).

Passo 3

Vamos transformar a expressão de forma algébrica para aplicar regras de limite com segurança. Dividimos numerador e denominador por x (note que isso é válido para x\neq0; estamos examinando x com grande módulo, então é legítimo):
\frac{5}{2x-3}=\frac{\dfrac{5}{x}}{2-\dfrac{3}{x}}.
Agora aplicamos limites às partes: quando x\to-\infty vale
\lim_{x\to -\infty}\dfrac{5}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to -\infty}\dfrac{3}{x}=0,
pois 1/x\to0 quando |x|\to\infty. Usando as regras de limite (limite de quociente quando denominador não tende a zero):
\lim_{x\to -\infty}\frac{5}{2x-3} =\frac{\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{5}{x}}{2-\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{3}{x}} =\frac{0}{2-0}=0.

Passo 4

Comentário didático geral (regra prática para a prova): para funções racionais, se o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador, o limite quando x\to\pm\infty é sempre 0. Aqui o numerador tem grau 0 e o denominador tem grau 1, então o resultado 0 confirma essa regra. Exemplo rápido: \lim_{x\to\infty}\dfrac{7}{3x+1}=0.
Pequena observação sobre o sentido da aproximação: como mencionado no Passo 2, para x\to-\infty o denominador 2x-3 é negativo, logo a função é negativa para x suficientemente negativo. Assim o valor da função aproxima-se de 0 por valores negativos (tende a 0^-), mas o limite numérico é 0.

Resposta

0

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