Considere os polinômios
f(x)=a_{m} x^{m}+a_{m-1} x^{m-1}+a_{m-2} x^{m-2}+\cdots+a_{2}^{x 2}+a_{1} x+a_{0}
e
g(x)=b_{n} x^{n}+b_{n-1} x^{n-1}+b_{n-2} x^{n-2}+\cdots+b_{2}^{x 2}+b_{1} x+b_{0}
. Calcule \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)} e \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{g(x)} nos seguintes casos:
a) m=n
b) m>n
c) m<n
A seguir, refaça todos os itens do exercício 12 utilizando os resultados aqui obtidos.

Passo 1

O enunciado nos dá dois polinômios (corrigindo o que parecem ser typos do enunciado: usar a_2 x^2 e b_2 x^2 em vez de a_{2}^{x 2}, b_{2}^{x 2}):
f(x)=a_{m} x^{m}+a_{m-1} x^{m-1}+a_{m-2} x^{m-2}+\cdots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0},
g(x)=b_{n} x^{n}+b_{n-1} x^{n-1}+b_{n-2} x^{n-2}+\cdots+b_{2} x^{2}+b_{1} x+b_{0}.
Informações relevantes fornecidas:
  • m é o grau de f e a_m é o coeficiente líder de f (logo a_m\neq0).
  • n é o grau de g e b_n é o coeficiente líder de g (logo b_n\neq0).
    O enunciado pede:
    a) Calcular \lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} e \lim_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} no caso m=n.
    b) Calcular essas mesmas duas limites no caso m>n.
    c) Calcular essas mesmas duas limites no caso m<n.
    Além disso, o enunciado pede: “A seguir, refaça todos os itens do exercício 12 utilizando os resultados aqui obtidos.” Observação importante: o enunciado do exercício 12 NÃO foi fornecido; sem ele não é possível refazer seus itens. Vou primeiro resolver as partes (a)–(c) e, ao final, explico por que não posso refazer o exercício 12 e dou instruções de uso dos resultados caso o enunciado seja fornecido.

Passo 2

Ideia-chave (intuição e ferramenta que usaremos): para x\) com valor muito grande em módulo (isto é, \(x\to\pm\infty\)), os termos de maior grau dominam o comportamento dos polinômios. Formalmente, a técnica mais prática é dividir numerador e denominador por uma potência de \(x\) (normalmente por \(x^{n}\) ou por \(x^{m}\), ou pela maior das duas) para ver quais termos tendem a zero e quais permanecem. Vou explicar essa técnica passo a passo para cada caso. Antes de aplicar, uma nota sobre sinais: para potências ímpares de \(x\) com \(x\to -\infty\) aparece sinal negativo; para potências pares o sinal fica positivo. Em geral, para um inteiro \(k\), \[\lim_{x\to -\infty} x^{k} = \begin{cases} +\infty, & \text{se \(k é par},\[4pt] -\infty, & se k é ímpar. \end{cases}]]

Passo 3

Caso (a): m=n.
  1. Dividir numerador e denominador por x^{n} (ou por x^{m}, já que m=n). Escrevendo
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_m x^m + a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0}{b_n x^n + b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0},
dividindo tudo por x^n obtemos
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_m + a_{m-1}x^{-1}+\cdots+a_0 x^{-n}}{b_n + b_{n-1}x^{-1}+\cdots+b_0 x^{-n}}.
  1. Para x\to +\infty todos os termos com potências negativas de x tendem a zero: por exemplo, \lim_{x\to+\infty} x^{-1}=0, \lim_{x\to+\infty} x^{-2}=0, etc. Logo
\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_m + 0 + \cdots + 0}{b_n + 0 + \cdots + 0}=\frac{a_m}{b_n}.
  1. Para x\to -\infty os termos x^{-1},x^{-2},\dots também tendem a zero (apenas com sinais alternados dependendo de paridade, mas tendem a zero). Então a mesma conclusão vale:
\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_m}{b_n}.
  1. Interpretação: quando os graus são iguais, a razão tende para a razão dos coeficientes líderes, e esse valor é o mesmo indo para +\infty ou para -\infty.

Passo 4

Caso (b): [m>n). Defina k=m-n, então k é um inteiro positivo.
  1. Dividir numerador e denominador por x^{n}:
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_m x^{k} + a_{m-1} x^{k-1} + \cdots + a_0 x^{-n}}{b_n + b_{n-1} x^{-1} + \cdots + b_0 x^{-n}}.
  1. Para x\to +\infty: os termos com x^{-1},x^{-2},\dots no denominador tendem a 0, portanto o denominador tende a b_n (um número não nulo). No numerador, o termo dominante é a_m x^{k} e, como k>0, \lvert a_m x^{k}\rvert\to+\infty. Em particular x^{k}\to+\infty quando x\to+\infty. Assim a razão tem comportamento do tipo
\frac{f(x)}{g(x)}\sim \frac{a_m x^{k}}{b_n}\quad\text{quando }x\to+\infty,
logo
\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \begin{cases} +\infty, & \text{se } \dfrac{a_m}{b_n}>0,\\[6pt] -\infty, & \text{se } \dfrac{a_m}{b_n}<0. \end{cases}
Em palavras: o limite é +\infty\] se \[a_m e b_n têm o mesmo sinal; é -\infty se têm sinais opostos.
  1. Para x\to -\infty: precisamos olhar o sinal de x^{k}. Como k pode ser par ou ímpar,
\lim_{x\to -\infty} x^{k} = \begin{cases} +\infty, & \text{se \(k é par},\[4pt] -\infty, & se [k) é ímpar. \end{cases}]
Portanto, como antes o denominador tende a b_n, conclui-se
\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \begin{cases} +\infty, & \text{se } a_m(-1)^{k}/b_n>0,\\[6pt] -\infty, & \text{se } a_m(-1)^{k}/b_n<0. \end{cases}
Equivalente e mais explícito:
\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \begin{cases} +\infty, & \text{se \(k é par e } \dfrac{a_m}{b_n}>0,\ ou k é ímpar e \dfrac{a_m}{b_n}<0,\[6pt] -\infty, & se k é par e \dfrac{a_m}{b_n}<0,\ ou k é ímpar e \dfrac{a_m}{b_n}>0. \end{cases}]
  1. Resumo do raciocínio: quando o numerador tem grau maior, a razão cresce em módulo sem limite; o sinal depende de a_m, b_n e da paridade da diferença de graus k.]

Passo 5

Caso (c): m<n.
  1. Dividir numerador e denominador por x^{n} (a potência do termo de maior grau, que aqui está no denominador):
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_m x^{m-n} + a_{m-1} x^{m-1-n} + \cdots + a_0 x^{-n}}{b_n + b_{n-1} x^{-1} + \cdots + b_0 x^{-n}}.
  1. Agora m-n é negativo, então todos os termos do numerador são termos com potência negativa de x (por exemplo x^{m-n}=x^{-q} com q>0). Para x\to+\infty ou x\to -\infty esses termos tendem a 0. O denominador tende a b_n\neq0. Portanto
\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0, \qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0.
  1. Intuição: o denominador cresce mais rapidamente (grau maior), então a fração “vai a zero”.

Passo 6

Pequeno reforço didático com um exemplo concreto (para fixar): se
f(x)=3x^4+2x^2-1,\qquad g(x)=5x^2+7,
aqui m=4, n=2, k=2. Pelas regras do caso (b),
\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty\quad(\text{pois }a_m=3,\\ b_n=5 \text{ têm mesmo sinal}),ê
e como k é par, para x\to -\infty também
\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty.
Se em vez disso a_m=-3 (sinal oposto), os limites seriam -\infty.

Passo 7

Sobre “refaça todos os itens do exercício 12 utilizando os resultados aqui obtidos”: não é possível refazer o exercício 12 porque o enunciado desse exercício não foi fornecido nesta conversa. Para refazer os itens do exercício 12 eu precisaria do texto completo desse exercício (ou das suas alíneas). O que posso fazer sem o enunciado:
  • explicar como aplicar os resultados obtidos aqui a qualquer questão do tipo "calcule \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}": identificar os graus m,n e os coeficientes líderes a_m,b_n, comparar m e n e aplicar os casos (a),(b),(c) acima;
  • se o exercício 12 for enviado depois, eu refaço imediatamente seguindo exatamente os passos didáticos usados aqui.

Resposta

a) Se m=n\): \[\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_m}{b_n}, \qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_m}{b_n}.
b) Se m>n e k=m-n>0:
\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \begin{cases} +\infty, & \text{se } \dfrac{a_m}{b_n}>0,\\[6pt] -\infty, & \text{se } \dfrac{a_m}{b_n}<0, \end{cases}
\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \begin{cases} +\infty, & \text{se } a_m(-1)^{k}/b_n>0,\\[6pt] -\infty, & \text{se } a_m(-1)^{k}/b_n<0. \end{cases}
c) Se (m<n]:
\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0, \qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0.
Não é possível refazer o exercício 12 porque o enunciado do exercício 12 não foi fornecido.]

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