m é o grau de f e a_m é o coeficiente líder de f (logo a_m\neq0).
n é o grau de g e b_n é o coeficiente líder de g (logo b_n\neq0).
O enunciado pede:
a) Calcular \lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} e \lim_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} no caso m=n.
b) Calcular essas mesmas duas limites no caso m>n.
c) Calcular essas mesmas duas limites no caso m<n.
Além disso, o enunciado pede: “A seguir, refaça todos os itens do exercício 12 utilizando os resultados aqui obtidos.” Observação importante: o enunciado do exercício 12 NÃO foi fornecido; sem ele não é possível refazer seus itens. Vou primeiro resolver as partes (a)–(c) e, ao final, explico por que não posso refazer o exercício 12 e dou instruções de uso dos resultados caso o enunciado seja fornecido.
Passo 2
Ideia-chave (intuição e ferramenta que usaremos): para x\) com valor muito grande em módulo (isto é, \(x\to\pm\infty\)), os termos de maior grau dominam o comportamento dos polinômios. Formalmente, a técnica mais prática é dividir numerador e denominador por uma potência de \(x\) (normalmente por \(x^{n}\) ou por \(x^{m}\), ou pela maior das duas) para ver quais termos tendem a zero e quais permanecem. Vou explicar essa técnica passo a passo para cada caso. Antes de aplicar, uma nota sobre sinais: para potências ímpares de \(x\) com \(x\to -\infty\) aparece sinal negativo; para potências pares o sinal fica positivo. Em geral, para um inteiro \(k\),
\[\lim_{x\to -\infty} x^{k} = \begin{cases} +\infty, & \text{se \(k é par},\[4pt] -\infty, & se k é ímpar. \end{cases}]]
Passo 3
Caso (a): m=n.
Dividir numerador e denominador por x^{n} (ou por x^{m}, já que m=n). Escrevendo
Para x\to +\infty todos os termos com potências negativas de x tendem a zero: por exemplo, \lim_{x\to+\infty} x^{-1}=0, \lim_{x\to+\infty} x^{-2}=0, etc. Logo
Para x\to -\infty os termos x^{-1},x^{-2},\dots também tendem a zero (apenas com sinais alternados dependendo de paridade, mas tendem a zero). Então a mesma conclusão vale:
Interpretação: quando os graus são iguais, a razão tende para a razão dos coeficientes líderes, e esse valor é o mesmo indo para +\infty ou para -\infty.
Passo 4
Caso (b): [m>n). Defina k=m-n, então k é um inteiro positivo.
Para x\to +\infty: os termos com x^{-1},x^{-2},\dots no denominador tendem a 0, portanto o denominador tende a b_n (um número não nulo). No numerador, o termo dominante é a_m x^{k} e, como k>0, \lvert a_m x^{k}\rvert\to+\infty. Em particular x^{k}\to+\infty quando x\to+\infty. Assim a razão tem comportamento do tipo
\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \begin{cases} +\infty, & \text{se \(k é par e } \dfrac{a_m}{b_n}>0,\ ou k é ímpar e \dfrac{a_m}{b_n}<0,\[6pt] -\infty, & se k é par e \dfrac{a_m}{b_n}<0,\ ou k é ímpar e \dfrac{a_m}{b_n}>0. \end{cases}]
Resumo do raciocínio: quando o numerador tem grau maior, a razão cresce em módulo sem limite; o sinal depende de a_m, b_n e da paridade da diferença de graus k.]
Passo 5
Caso (c): m<n.
Dividir numerador e denominador por x^{n} (a potência do termo de maior grau, que aqui está no denominador):
Agora m-n é negativo, então todos os termos do numerador são termos com potência negativa de x (por exemplo x^{m-n}=x^{-q} com q>0). Para x\to+\infty ou x\to -\infty esses termos tendem a 0. O denominador tende a b_n\neq0. Portanto
Intuição: o denominador cresce mais rapidamente (grau maior), então a fração “vai a zero”.
Passo 6
Pequeno reforço didático com um exemplo concreto (para fixar): se
f(x)=3x^4+2x^2-1,\qquad g(x)=5x^2+7,
aqui m=4, n=2, k=2. Pelas regras do caso (b),
\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty\quad(\text{pois }a_m=3,\\ b_n=5 \text{ têm mesmo sinal}),ê
e como k é par, para x\to -\infty também
\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty.
Se em vez disso a_m=-3 (sinal oposto), os limites seriam -\infty.
Passo 7
Sobre “refaça todos os itens do exercício 12 utilizando os resultados aqui obtidos”: não é possível refazer o exercício 12 porque o enunciado desse exercício não foi fornecido nesta conversa. Para refazer os itens do exercício 12 eu precisaria do texto completo desse exercício (ou das suas alíneas). O que posso fazer sem o enunciado:
explicar como aplicar os resultados obtidos aqui a qualquer questão do tipo "calcule \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}": identificar os graus m,n e os coeficientes líderes a_m,b_n, comparar m e n e aplicar os casos (a),(b),(c) acima;
se o exercício 12 for enviado depois, eu refaço imediatamente seguindo exatamente os passos didáticos usados aqui.
Resposta
a) Se m=n\):
\[\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_m}{b_n}, \qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_m}{b_n}.