Calcule \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right).
Informações dadas:
  • A expressão é uma diferença entre uma raiz quadrada que cresce com x e x próprio.
  • O comportamento pedido é quando x tende para +\infty.

Passo 2

Identificar a forma indeterminada: ao olhar para x\to\infty temos \sqrt{x^{2}+1}\to\infty e x\to\infty, então a expressão tem a forma \infty-\infty, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não dá para concluir o limite só vendo que ambos os termos crescem; é preciso manipular a expressão para descobrir se a diferença tende a um número finito, a +\infty, a -\infty ou a zero.

Passo 3

Técnica padrão e muito útil: eliminar a indeterminação usando o conjugado. Multiplico a expressão por 1 escrita como o conjugado dividido pelo conjugado:
\sqrt{x^{2}+1}-x = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+1}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+1}+x}
Em seguida desenvolvo o numerador (produto notável):
\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+1}+x\bigr) = (\sqrt{x^{2}+1})^{2}-x^{2} = x^{2}+1-x^{2}=1.

Passo 4

Portanto a expressão simplifica-se para
\sqrt{x^{2}+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.
Essa forma é muito mais conveniente: agora não há diferença entre dois termos grandes, há um quociente cujo denominador tende a infinito (provavelmente), o que já sugere que o limite será 0. Vou tornar isso rigoroso.

Passo 5

Para estudar o comportamento quando x\to\infty é útil fatorar x no denominador. Para x>0 (e como x\to\infty podemos assumir x suficientemente grande e positivo) temos
\sqrt{x^{2}+1}+x = x\bigl(\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+1\bigr).
Logo
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} = \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+1}.

Passo 6

Agora tomo o limite dos dois fatores ao produto:
  • \displaystyle \frac{1}{x}\to 0 quando x\to\infty.
  • \displaystyle \sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+1\to \sqrt{1+0}+1=1+1=2 quando x\to\infty. Em particular esse segundo fator fica próximo de 2 e é limitado (não cresce para infinito).
Produto de algo que tende a 0 por algo que tende a um número finito dá 0. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x } =0\cdot\frac{1}{2}=0.

Passo 7

Para intuição rápida: para x=10 a expressão original vale \sqrt{10^{2}+1}-10=\sqrt{101}-10\approx 0,0499; para x=100 vale \sqrt{10000+1}-100\approx 0,004999. Os valores ficam cada vez mais próximos de zero, confirmando o resultado formal.

Resposta

0

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