Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma diferença entre uma raiz quadrada que cresce com
e próprio. - O comportamento pedido é quando
tende para .
Passo 2
Identificar a forma indeterminada: ao olhar para
temos
e
, então a expressão tem a forma
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não dá para concluir o limite só vendo que ambos os termos crescem; é preciso manipular a expressão para descobrir se a diferença tende a um número finito, a
, a
ou a zero.
Passo 3
Técnica padrão e muito útil: eliminar a indeterminação usando o conjugado. Multiplico a expressão por
escrita como o conjugado dividido pelo conjugado:
Em seguida desenvolvo o numerador (produto notável):
Passo 4
Portanto a expressão simplifica-se para
Essa forma é muito mais conveniente: agora não há diferença entre dois termos grandes, há um quociente cujo denominador tende a infinito (provavelmente), o que já sugere que o limite será
. Vou tornar isso rigoroso.
Passo 5
Para estudar o comportamento quando
é útil fatorar
no denominador. Para
(e como
podemos assumir
suficientemente grande e positivo) temos
Logo
Passo 6
Agora tomo o limite dos dois fatores ao produto:
-
quando . -
quando . Em particular esse segundo fator fica próximo de e é limitado (não cresce para infinito).
Produto de algo que tende a
por algo que tende a um número finito dá
. Portanto
Passo 7
Para intuição rápida: para
a expressão original vale
; para
vale
. Os valores ficam cada vez mais próximos de zero, confirmando o resultado formal.
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