Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é \left(1-\dfrac{2}{x}\right)^{x} e a variável x tende a +\infty.
  • Para x>2 o fator 1-\dfrac{2}{x} é positivo, portanto a potência está bem definida como número real positivo para x suficientemente grande. Isso nos permite tomar logaritmo natural quando for útil.

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): é comum neste tipo de limite tomar o logaritmo natural da expressão, transformar o problema em limite de produto/razão mais simples, calcular esse limite e depois exponenciar o resultado. Vou aplicar isso aqui.
Defina a função
y(x)=\left(1-\frac{2}{x}\right)^{x}.
Como observado, para x>2 tem-se y(x)>0, então o logaritmo natural \ln y(x) existe. Tomando \ln dos dois lados,
\ln y(x)=x\ln\!\left(1-\frac{2}{x}\right).

Passo 3

Transformar a expressão para uma forma de limite conhecida. Escrevo
x\ln\!\left(1-\frac{2}{x}\right)=\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{2}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}.
Agora faço a mudança de variável t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to\infty temos t\to 0^+. Em termos de t,
\ln y(x)=\frac{\ln\!\left(1-2t\right)}{t},
com t\to 0^+. Assim o problema reduz-se a calcular
\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1-2t)}{t}.

Passo 4

Usar um limite fundamental para logaritmo. Conhecemos (e podemos justificar rapidamente por L’Hôpital) que
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Justificação curta por L’Hôpital: para u\to 0 a forma é 0/0; derivando numerador e denominador obtemos \dfrac{1/(1+u)}{1} que tende a 1 quando u\to 0. Portanto o limite vale 1.

Passo 5

Aplicar o resultado ao nosso caso: na expressão \dfrac{\ln(1-2t)}{t} podemos escrever
\frac{\ln(1-2t)}{t}=\frac{-2}{1}\cdot\frac{\ln(1-2t)}{-2t}=-2\cdot\frac{\ln(1+u)}{u},
onde fiz a substituição u=-2t. Quando t\to 0 também u\to 0, então pelo limite do passo anterior
\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1-2t)}{t}=-2\cdot 1=-2.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\ln y(x)=-2.

Passo 6

Voltar da logaritmização para a expressão original. Se \ln y(x)\to -2 então y(x)\to e^{-2}, porque a função exponencial é contínua. Logo
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{x}=e^{-2}.

Resposta

\mathrm{e}^{-2}

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