Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O que o problema pede: calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é
e a variável tende a . - Para
o fator é positivo, portanto a potência está bem definida como número real positivo para suficientemente grande. Isso nos permite tomar logaritmo natural quando for útil.
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): é comum neste tipo de limite tomar o logaritmo natural da expressão, transformar o problema em limite de produto/razão mais simples, calcular esse limite e depois exponenciar o resultado. Vou aplicar isso aqui.
Defina a função
Como observado, para
tem-se
, então o logaritmo natural
existe. Tomando
dos dois lados,
Passo 3
Transformar a expressão para uma forma de limite conhecida. Escrevo
Agora faço a mudança de variável
. Quando
temos
. Em termos de
,
com
. Assim o problema reduz-se a calcular
Passo 4
Usar um limite fundamental para logaritmo. Conhecemos (e podemos justificar rapidamente por L’Hôpital) que
Justificação curta por L’Hôpital: para
a forma é
; derivando numerador e denominador obtemos
que tende a
quando
. Portanto o limite vale
.
Passo 5
Aplicar o resultado ao nosso caso: na expressão
podemos escrever
onde fiz a substituição
. Quando
também
, então pelo limite do passo anterior
Portanto
Passo 6
Voltar da logaritmização para a expressão original. Se
então
, porque a função exponencial é contínua. Logo