Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações fornecidas:
- A expressão envolve funções trigonométricas tangente avaliadas em
e . - O ponto de interesse é
.
Não há mais dados ocultos — temos que usar propriedades de limites e limites trigonométricos básicos para resolver.
Passo 2
Lembrete crucial que vou usar: a tangente pode ser escrita como razão entre seno e cosseno. Para qualquer
em que isso faça sentido,
Uma identidade limite fundamental, muito usada em provas e questões, é
Vou explicar por que isso vale: para
vale a desigualdade geométrica
Como
, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue que
. Essa é uma das bases do cálculo dos limites trigonométricos.
Passo 3
A partir do limite do seno, obtenho o limite da tangente dividido pelo seu argumento. Escrevo
Quando
temos
e
, logo
Portanto, sempre que um ângulo pequeno
tende a zero,
se comporta como
(ou seja,
).
Passo 4
Agora aplico isso ao limite pedido. Faço uma manipulação algébrica para separar fatores que convergem para 1:
Essa decomposição é só multiplicar e dividir por
e
de modo a obter fatores do tipo
e seu recíproco.
Passo 5
Tomando limite quando
e usando que
, obtemos
Além disso
. Como limite de produto é produto dos limites (quando eles existem), segue que