Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(3 x)}{\operatorname{tg}(7 x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(3x)}{\operatorname{tg}(7x)}.
Informações fornecidas:
  • A expressão envolve funções trigonométricas tangente avaliadas em 3x e 7x.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    Não há mais dados ocultos — temos que usar propriedades de limites e limites trigonométricos básicos para resolver.

Passo 2

Lembrete crucial que vou usar: a tangente pode ser escrita como razão entre seno e cosseno. Para qualquer u em que isso faça sentido,
\operatorname{tg}(u)=\frac{\operatorname{sen}(u)}{\cos(u)}.
Uma identidade limite fundamental, muito usada em provas e questões, é
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
Vou explicar por que isso vale: para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\cos(u) < \frac{\operatorname{sen}(u)}{u} < 1.
Como \lim_{u\to 0}\cos(u)=1, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue que \lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1. Essa é uma das bases do cálculo dos limites trigonométricos.

Passo 3

A partir do limite do seno, obtenho o limite da tangente dividido pelo seu argumento. Escrevo
\frac{\operatorname{tg}(u)}{u}=\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\cdot\frac{1}{\cos(u)}.
Quando u\to 0 temos \frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\to 1 e \cos(u)\to 1, logo
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{tg}(u)}{u}=1\cdot\frac{1}{1}=1.
Portanto, sempre que um ângulo pequeno u tende a zero, \operatorname{tg}(u) se comporta como u (ou seja, \operatorname{tg}(u)\sim u).

Passo 4

Agora aplico isso ao limite pedido. Faço uma manipulação algébrica para separar fatores que convergem para 1:
\frac{\operatorname{tg}(3x)}{\operatorname{tg}(7x)} = \frac{\operatorname{tg}(3x)}{3x}\cdot\frac{3x}{7x}\cdot\frac{7x}{\operatorname{tg}(7x)}.
Essa decomposição é só multiplicar e dividir por 3x e 7x de modo a obter fatores do tipo \frac{\operatorname{tg}(u)}{u} e seu recíproco.

Passo 5

Tomando limite quando x\to 0 e usando que \lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{tg}(u)}{u}=1, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(3x)}{3x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{7x}{\operatorname{tg}(7x)}=1.
Além disso \lim_{x\to 0}\frac{3x}{7x}=\frac{3}{7}. Como limite de produto é produto dos limites (quando eles existem), segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(3x)}{\operatorname{tg}(7x)} =1\cdot\frac{3}{7}\cdot 1=\frac{3}{7}.

Resposta

\frac{3}{7}

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