Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(2 x)}{5 x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede o cálculo do limite quando x tende a 0 da função
\frac{\operatorname{tg}(2x)}{5x}.
  • Informação dada: a expressão explícita \dfrac{\operatorname{tg}(2x)}{5x} para x\to 0.

Passo 2

Lembrete importante e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
  • Uma identidade básica de limites que usamos muito em provas é
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Isso pode ser provado geometricamente ou por séries, mas aqui apenas usamos o resultado conhecido (é padrão em cálculo).
  • A tangente é definida por \operatorname{tg}u=\tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Então podemos relacionar \tan u com \sin u e \cos u.
  • Observe a seguinte manipulação algebraica útil:
\frac{\tan u}{u}=\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u}.
Ao fazer o limite u\to 0 temos \dfrac{\sin u}{u}\to 1 e \cos u\to 1. Logo
\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=1\cdot\frac{1}{1}=1.
Esse resultado é chave: para qualquer expressão da forma \dfrac{\tan(kx)}{kx} com k constante, o limite quando x\to 0 é 1.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso limite — passo a passo sem pular etapas:
Começamos com
\lim_{x\to 0}\frac{\tan(2x)}{5x}.
Fatoramos constantes para ficar na forma conhecida. Podemos escrever:
\frac{\tan(2x)}{5x}=\frac{1}{5}\cdot\frac{\tan(2x)}{x}.
Agora transformamos \dfrac{\tan(2x)}{x} para tirar a forma \dfrac{\tan(2x)}{2x}, multiplicando e dividindo por 2:
\frac{\tan(2x)}{x}=\frac{\tan(2x)}{2x}\cdot 2.
Juntando,
\frac{\tan(2x)}{5x}=\frac{1}{5}\cdot\frac{\tan(2x)}{2x}\cdot 2.

Passo 4

Calcular o limite usando o resultado da Passo 2:
  • Sabemos que \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=1.
  • Tomando u=2x, quando x\to 0 tem-se u\to 0, então
\lim_{x\to 0}\frac{\tan(2x)}{2x}=1.
  • Substituindo na expressão obtida:
\lim_{x\to 0}\frac{\tan(2x)}{5x}=\frac{1}{5}\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{\tan(2x)}{2x}\right)\cdot 2 =\frac{1}{5}\cdot 1\cdot 2=\frac{2}{5}.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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