Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede o cálculo do limite quando
tende a da função
- Informação dada: a expressão explícita
para .
Passo 2
Lembrete importante e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
- Uma identidade básica de limites que usamos muito em provas é
Isso pode ser provado geometricamente ou por séries, mas aqui apenas usamos o resultado conhecido (é padrão em cálculo).
- A tangente é definida por
. Então podemos relacionar com e . - Observe a seguinte manipulação algebraica útil:
Ao fazer o limite
temos
e
. Logo
Esse resultado é chave: para qualquer expressão da forma
com
constante, o limite quando
é
.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso limite — passo a passo sem pular etapas:
Começamos com
Fatoramos constantes para ficar na forma conhecida. Podemos escrever:
Agora transformamos
para tirar a forma
, multiplicando e dividindo por
:
Juntando,
Passo 4
Calcular o limite usando o resultado da Passo 2:
- Sabemos que
. - Tomando
, quando tem-se , então
- Substituindo na expressão obtida: