Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{2x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A base é \displaystyle 1-\frac{3}{x}.
  • O expoente é \displaystyle 2x.
  • Quando x\to\infty temos \displaystyle 1-\frac{3}{x}\to1 e \displaystyle 2x\to\infty; portanto a expressão tem a indeterminação do tipo (1+\text{algo que vai a }0)^{\text{algo que vai a }\infty}.
  • Para x>3 a base é positiva ( 1-\tfrac{3}{x}>0), então a potência é bem definida e podemos tomar logaritmo natural para x suficientemente grande sem problemas.

Passo 2

Estratégia: transformar o limite de uma potência em limite de logaritmo, porque logaritmo transforma potência em produto e produtos são mais fáceis de analisar. Seja
y(x)=\left(1-\frac{3}{x}\right)^{2x}.
Tomamos o logaritmo natural (para x>3 isso é válido):
\ln y(x)=2x\ln\!\left(1-\frac{3}{x}\right).
Agora vamos estudar o limite de \ln y(x) quando x\to\infty. Se conseguirmos \lim_{x\to\infty}\ln y(x)=L então, pela continuidade da exponencial, o limite original será e^{L}.

Passo 3

Manipulação algébrica útil: escrevemos a parte logarítmica isolando um fator que tende a zero:
\ln y(x)=2x\ln\!\left(1-\frac{3}{x}\right) = -6\cdot\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{3}{x}\right)}{-\dfrac{3}{x}}.
Aqui observe que multiplicamos e dividimos por -3/x: explicitamente
2x\ln\!\left(1-\frac{3}{x}\right) =2x\left(-\frac{3}{x}\right)\cdot\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{3}{x}\right)}{-\dfrac{3}{x}} =-6\cdot\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{3}{x}\right)}{-\dfrac{3}{x}}.

Passo 4

Analisar o limite do quociente dentro: faça a substituição auxiliar \displaystyle u(x)=-\frac{3}{x}. Então \displaystyle u(x)\to0 quando x\to\infty, e o quociente fica
\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{3}{x}\right)}{-\dfrac{3}{x}}=\frac{\ln(1+u)}{u}\quad\text{com}\quad u\to0.
É um fato padrão (e fácil de mostrar por L’Hôpital) que
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Breve justificativa por L’Hôpital: quando u\to0 temos forma 0/0; derivando numerador e denominador em relação a u \displaystyle\frac{1/(1+u)}{1}, cujo limite quando u\to0 é \displaystyle\frac{1}{1+0}=1. Portanto o quociente tende a 1.

Passo 5

Usando isso no passo anterior:
\lim_{x\to\infty}\ln y(x) =\lim_{x\to\infty}\left(-6\cdot\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{3}{x}\right)}{-\dfrac{3}{x}}\right) =-6\cdot 1 = -6.
Logo \displaystyle \ln y(x)\to -6 quando x\to\infty.

Passo 6

Voltar ao y(x): pela continuidade da exponencial,
\lim_{x\to\infty} y(x)=\lim_{x\to\infty} e^{\ln y(x)}=e^{-6}.

Resposta

e^{-6}

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