Calcule os limites a seguir: \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{2 x}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{2x}.
Informações dadas e observações imediatas:
A base é \displaystyle 1-\frac{3}{x}.
O expoente é \displaystyle 2x.
Quando x\to\infty temos \displaystyle 1-\frac{3}{x}\to1 e \displaystyle 2x\to\infty; portanto a expressão tem a indeterminação do tipo (1+\text{algo que vai a }0)^{\text{algo que vai a }\infty}.
Para x>3 a base é positiva (1-\tfrac{3}{x}>0), então a potência é bem definida e podemos tomar logaritmo natural para x suficientemente grande sem problemas.
Passo 2
Estratégia: transformar o limite de uma potência em limite de logaritmo, porque logaritmo transforma potência em produto e produtos são mais fáceis de analisar. Seja
y(x)=\left(1-\frac{3}{x}\right)^{2x}.
Tomamos o logaritmo natural (para x>3 isso é válido):
\ln y(x)=2x\ln\!\left(1-\frac{3}{x}\right).
Agora vamos estudar o limite de \ln y(x) quando x\to\infty. Se conseguirmos \lim_{x\to\infty}\ln y(x)=L então, pela continuidade da exponencial, o limite original será e^{L}.
Passo 3
Manipulação algébrica útil: escrevemos a parte logarítmica isolando um fator que tende a zero:
Analisar o limite do quociente dentro: faça a substituição auxiliar \displaystyle u(x)=-\frac{3}{x}. Então \displaystyle u(x)\to0 quando x\to\infty, e o quociente fica
É um fato padrão (e fácil de mostrar por L’Hôpital) que
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Breve justificativa por L’Hôpital: quando u\to0 temos forma 0/0; derivando numerador e denominador em relação a u dá \displaystyle\frac{1/(1+u)}{1}, cujo limite quando u\to0 é \displaystyle\frac{1}{1+0}=1. Portanto o quociente tende a 1.