Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações que o enunciado dá e observações imediatas:
- A base é
. Quando essa base tende a - O expoente é
, que tende a quando . - Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Não podemos concluir o valor do limite só com isso — é preciso um procedimento para “desfazer” a indeterminação.
Passo 2
Estratégia para resolver indeterminação do tipo
: tomar logaritmo natural da expressão para transformar potência em produto. Se
for o limite desejado e
, então
Justificativa rápida: para
grande a base
é positiva (de fato
), então o limite, se existir, será positivo e podemos aplicar o logaritmo natural ao limite. Depois voltamos exponenciando para recuperar
.
Passo 3
Simplificar o logaritmo interior. Escrevemos
Para organizar a análise, faça a substituição auxiliar
Observe que quando
temos
. Em termos de
,
Assim
onde
e
.
Passo 4
Reescrever
de modo a usar um limite conhecido. Escrevemos
Agora analisamos os dois fatores separadamente quando
(equivalente a
).
- Calcular
. Como ,
Quando
,
- Calcular
. Esse é um limite padrão; pode-se justificar pela Regra de L’Hôpital (pois numerador e denominador tendem a ):
Portanto
Passo 5
Combinar os resultados do passo anterior. Como
e os limites dos dois fatores são
e
respectivamente, segue que
Logo
.
Passo 6
Verificação alternativa (intuitiva) usando o limite clássico
. Escrevendo
quando
o primeiro fator tende a
(com
e
) e a potência externa tende a
(pois
), obtendo-se novamente
. Isso confirma o resultado anterior.