Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{x}.
Informações que o enunciado dá e observações imediatas:
  • A base é \dfrac{x+1}{x+2}. Quando x\to\infty essa base tende a \lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x+2}=1.
  • O expoente é x, que tende a +\infty quando x\to\infty.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada 1^{\infty}. Não podemos concluir o valor do limite só com isso — é preciso um procedimento para “desfazer” a indeterminação.

Passo 2

Estratégia para resolver indeterminação do tipo 1^{\infty}: tomar logaritmo natural da expressão para transformar potência em produto. Se L for o limite desejado e L>0, então
\ln L=\lim_{x\to\infty}\ln\!\left(\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{x}\right) =\lim_{x\to\infty} x\cdot\ln\!\left(\frac{x+1}{x+2}\right).
Justificativa rápida: para x grande a base \dfrac{x+1}{x+2} é positiva (de fato >0), então o limite, se existir, será positivo e podemos aplicar o logaritmo natural ao limite. Depois voltamos exponenciando para recuperar L.

Passo 3

Simplificar o logaritmo interior. Escrevemos
\ln\!\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\ln\!\left(1-\frac{1}{x+2}\right).
Para organizar a análise, faça a substituição auxiliar
u=-\frac{1}{x+2}.
Observe que quando x\to\infty temos u\to 0. Em termos de u,
\ln\!\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\ln(1+u).
Assim
\ln L=\lim_{x\to\infty} x\ln(1+u),
onde u=-\dfrac{1}{x+2} e u\to 0.

Passo 4

Reescrever x\ln(1+u) de modo a usar um limite conhecido. Escrevemos
x\ln(1+u)=\bigl(x\cdot u\bigr)\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}.
Agora analisamos os dois fatores separadamente quando x\to\infty (equivalente a u\to 0).
  1. Calcular \displaystyle\lim_{x\to\infty} x\cdot u. Como u=-\dfrac{1}{x+2},
x\cdot u = -\frac{x}{x+2}.
Quando x\to\infty,
\lim_{x\to\infty}\left(-\frac{x}{x+2}\right)=-1.
  1. Calcular \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}. Esse é um limite padrão; pode-se justificar pela Regra de L’Hôpital (pois numerador e denominador tendem a 0):
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{\tfrac{1}{1+u}}{1}=\frac{1}{1+0}=1.
Portanto
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.

Passo 5

Combinar os resultados do passo anterior. Como
\ln L=\lim_{x\to\infty}\bigl(x\cdot u\bigr)\cdot\frac{\ln(1+u)}{u},
e os limites dos dois fatores são -1 e 1 respectivamente, segue que
\ln L = (-1)\cdot 1 = -1.
Logo L=\mathrm{e}^{\ln L}=\mathrm{e}^{-1}.

Passo 6

Verificação alternativa (intuitiva) usando o limite clássico \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{a}{n}\right)^{n}=\mathrm{e}^{a}. Escrevendo
\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{x}=\left(1-\frac{1}{x+2}\right)^{x} =\left(1-\frac{1}{x+2}\right)^{x+2}\Bigl)^{\frac{x}{x+2}},
quando x\to\infty o primeiro fator tende a \mathrm{e}^{-1} (com a=-1 e n=x+2) e a potência externa tende a 1 (pois \dfrac{x}{x+2}\to 1), obtendo-se novamente \mathrm{e}^{-1}. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

\mathrm{e}^{-1}

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