Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações úteis dadas pelo enunciado:
- A expressão considerada é
. - A variável tende para
: . - Observação importante (sem resolver ainda): a parte dentro do parêntese tende para
quando e o expoente tende para . Logo a forma é do tipo indeterminado .
Passo 2
Técnica para tratar indeterminação
: tomar o logaritmo natural. Isso transforma potência em produto e simplifica o limite. Seja
Calculamos
:
Em vez de calcular o limite de
diretamente, vamos calcular o limite de
e depois exponenciar o resultado.
Passo 3
Para facilitar a análise, faça a substituição
Quando
temos
. Em termos de
,
e portanto
Logo precisamos calcular
Passo 4
Avaliar
. Esse é um limite clássico; pode-se usar o teorema de l’Hôpital porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a
quando
. Aplicando l’Hôpital:
(Alternativamente, pode-se usar a expansão em série
, que dá o mesmo resultado.)
Passo 5
Como
, voltando a
obtemos
Como a função exponencial é contínua, segue que