Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{5 x}\right)^{\frac{5 x}{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{2}{5x}\right)^{\frac{5x}{2}}.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
  • A expressão considerada é \left(1+\dfrac{2}{5x}\right)^{\frac{5x}{2}}.
  • A variável tende para +\infty: x\to\infty.
  • Observação importante (sem resolver ainda): a parte dentro do parêntese tende para 1 quando x\to\infty e o expoente \dfrac{5x}{2} tende para +\infty. Logo a forma é do tipo indeterminado 1^\infty.

Passo 2

Técnica para tratar indeterminação 1^\infty: tomar o logaritmo natural. Isso transforma potência em produto e simplifica o limite. Seja
y=\left(1+\frac{2}{5x}\right)^{\frac{5x}{2}}.
Calculamos \ln y:
\ln y = \frac{5x}{2}\,\ln\!\left(1+\frac{2}{5x}\right).
Em vez de calcular o limite de y diretamente, vamos calcular o limite de \ln y e depois exponenciar o resultado.

Passo 3

Para facilitar a análise, faça a substituição
t=\frac{2}{5x}.
Quando x\to\infty temos t\to 0^+. Em termos de t,
\frac{5x}{2}=\frac{1}{t}
e portanto
\ln y = \frac{1}{t}\,\ln(1+t)=\frac{\ln(1+t)}{t}.
Logo precisamos calcular
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 4

Avaliar \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}. Esse é um limite clássico; pode-se usar o teorema de l’Hôpital porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando t\to0. Aplicando l’Hôpital:
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{\frac{d}{dt}\ln(1+t)}{\frac{d}{dt}t} =\lim_{t\to 0}\frac{1}{1+t}=1.
(Alternativamente, pode-se usar a expansão em série \ln(1+t)=t+O(t^2), que dá o mesmo resultado.)

Passo 5

Como \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1, voltando a x obtemos
\lim_{x\to\infty}\ln y = 1.
Como a função exponencial é contínua, segue que
\lim_{x\to\infty} y = \lim_{x\to\infty} e^{\ln y} = e^{1}=e.

Resposta

e

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