Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O problema pede calcular o limite
onde
são constantes (presumidamente números reais). Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido:
- Informação dada: constantes
e a expressão . - O que se pede: o valor do limite quando
. - Observação importante que guia a resolução: o comportamento do limite pode depender do valor de
. Então preciso tratar separadamente o caso e o caso .
Passo 2
Intuição e método (sem ainda calcular): quando
a razão
tende a
quando
, porque os termos
dominam
e
. Assim a expressão tem a forma do tipo
, que é uma indeterminação clássica. O método padrão é tomar logaritmo natural e passar o limite para o expoente do
:
desde que o limite do lado direito exista (ou seja
exista finito ou infinito). Depois
. Vou aplicar essa ideia rigorosamente.
Passo 3
Caso
: simplificação e expansão assintótica da função logarítmica.
Primeiro, mostrar que a base tende a
:
pois dividindo numerador e denominador por
obtém-se
.
Agora escrevo a parte logarítmica de forma conveniente:
Aqui eu usei a álgebra
Para
o argumento do
tende a
, então a quantidade
tende a
. Para pequenos
vale a aproximação (expansão de Taylor da função logaritmo)
isto é,
é equivalente a
quando
.
Assim
Multiplico isso por
:
Agora analiso os termos principais:
-
. Para grandes pode-se escrever . Então
- Os termos com
e com são menores: e .
Portanto o produto total tem limite
Logo, tomando exponencial,
Esse é o resultado principal para
. Observação: a dedução não exigiu que
sejam inteiros; funciona para constantes reais desde que a potência seja bem definida (quando a base perto de
a potência real está bem definida).
Passo 4
Caso
: a expressão simplifica e exige tratamento distinto.
Se
então a base fica constante:
e a expressão é
Este limite depende diretamente do valor de
e do sinal de
. Análise dos subcasos (assumindo potências reais; se a base for negativa e o expoente não inteiro, a expressão não é real — ressalva depois):
-
Se
(isto é, ), então a expressão é identicamente . Portanto o limite é . -
Se
e :
- Se
e , então . - Se
e , então . - Se
as direções invertem: se então limit ; se então limit . - Se
então o limite é simplesmente (constante).
- Se
(base não positiva), a expressão com expoente real geralmente não é bem definida no conjunto dos números reais, salvo casos especiais (por exemplo quando e inteiro, ou quando a base e o expoente assume valores que tornam a potência bem definida). Nesses casos é preciso especificar domínio complexo ou exigir restrições extras. Assim, sem informações adicionais, não se pode dar um valor real do limite quando a base é não positiva e o expoente tende a infinito de forma não inteira.
Passo 5
Resumo e interpretação final (repetindo o resultado de maneira compacta, com as ressalvas):
- Para
:
- Para
(então a base é ): - Se
então o limite é . - Se
e , o comportamento é exponencial conforme o sinal de (veja os itens do Passo 4). - Se
a potência real pode não estar bem definida para expoentes não inteiros; então não há um limite real bem definido sem hipóteses adicionais.
- Se