Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{a x+b}{a x+c}\right)^{d x+F}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{a x+b}{a x+c}\right)^{d x+F},
onde a,b,c,d,F são constantes (presumidamente números reais). Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido:
  • Informação dada: constantes a,b,c,d,F e a expressão \left(\dfrac{a x+b}{a x+c}\right)^{d x+F}.
  • O que se pede: o valor do limite quando x\to\infty.
  • Observação importante que guia a resolução: o comportamento do limite pode depender do valor de a. Então preciso tratar separadamente o caso a\neq 0 e o caso a=0.

Passo 2

Intuição e método (sem ainda calcular): quando a\neq 0 a razão \dfrac{a x+b}{a x+c} tende a 1 quando x\to\infty, porque os termos ax dominam b e c. Assim a expressão tem a forma do tipo 1^{\infty}, que é uma indeterminação clássica. O método padrão é tomar logaritmo natural e passar o limite para o expoente do e:
L=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{a x+b}{a x+c}\right)^{d x+F} \quad\Longrightarrow\quad \ln L=\lim_{x\to\infty}\bigl(d x+F\bigr)\ln\!\left(\frac{a x+b}{a x+c}\right),
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \ln L exista finito ou infinito). Depois L=\exp(\ln L). Vou aplicar essa ideia rigorosamente.

Passo 3

Caso a\neq 0: simplificação e expansão assintótica da função logarítmica.
Primeiro, mostrar que a base tende a 1:
\lim_{x\to\infty}\frac{a x+b}{a x+c}=1,
pois dividindo numerador e denominador por x obtém-se \dfrac{a + b/x}{a + c/x}\to a/a=1.
Agora escrevo a parte logarítmica de forma conveniente:
\ln\!\left(\frac{a x+b}{a x+c}\right) = \ln\!\left(1+\frac{b-c}{a x+c}\right).
Aqui eu usei a álgebra
\frac{a x+b}{a x+c} = 1 + \frac{b-c}{a x+c}.
Para x\to\infty o argumento do \ln tende a 1, então a quantidade
u(x):=\frac{b-c}{a x+c}
tende a 0. Para pequenos u vale a aproximação (expansão de Taylor da função logaritmo)
\ln(1+u)=u + o(u)\quad\text{quando }u\to 0,
isto é, \ln(1+u) é equivalente a u quando u\to0.
Assim
\ln\!\left(\frac{a x+b}{a x+c}\right)=\frac{b-c}{a x+c}+o\!\left(\frac{1}{x}\right).
Multiplico isso por d x+F:
\bigl(d x+F\bigr)\ln\!\left(\frac{a x+b}{a x+c}\right) = (d x+F)\left(\frac{b-c}{a x+c}+o\!\left(\frac{1}{x}\right)\right).
Agora analiso os termos principais:
  • (d x)\cdot\frac{b-c}{a x+c}. Para grandes x pode-se escrever \dfrac{1}{a x+c}=\dfrac{1}{a x}\cdot\frac{1}{1+\tfrac{c}{a x}}=\dfrac{1}{a x}+o\!\left(\dfrac{1}{x}\right). Então
d x\cdot\frac{b-c}{a x+c} = d x\cdot\left(\frac{b-c}{a x}+o\!\left(\frac{1}{x}\right)\right) = d\cdot\frac{b-c}{a} + o(1).
  • Os termos com F e com o(1/x) são menores: F\cdot\frac{b-c}{a x+c}=O(1/x)\to 0 e (d x+F)\cdot o(1/x)=o(1).
Portanto o produto total tem limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(d x+F\bigr)\ln\!\left(\frac{a x+b}{a x+c}\right)=\frac{d(b-c)}{a}.
Logo, tomando exponencial,
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{a x+b}{a x+c}\right)^{d x+F} = \exp\!\left(\frac{d(b-c)}{a}\right), \qquad\text{quando }a\neq 0.
Esse é o resultado principal para a\neq 0. Observação: a dedução não exigiu que a,b,c,d,F sejam inteiros; funciona para constantes reais desde que a potência seja bem definida (quando a base perto de 1 a potência real está bem definida).

Passo 4

Caso a=0: a expressão simplifica e exige tratamento distinto.
Se a=0 então a base fica constante:
\frac{a x+b}{a x+c}=\frac{b}{c}\quad(\text{para todo }x),
e a expressão é
\left(\frac{b}{c}\right)^{d x+F}.
Este limite depende diretamente do valor de \dfrac{b}{c} e do sinal de d. Análise dos subcasos (assumindo potências reais; se a base for negativa e o expoente não inteiro, a expressão não é real — ressalva depois):
  1. Se \dfrac{b}{c}=1 (isto é, b=c), então a expressão é identicamente 1^{d x+F}=1. Portanto o limite é 1.
  2. Se \dfrac{b}{c}>0 e \dfrac{b}{c}\neq 1:
  • Se d>0 e \dfrac{b}{c}>1, então \left(\dfrac{b}{c}\right)^{d x+F}\to+\infty.
  • Se d>0 e 0<\dfrac{b}{c}<1, então \left(\dfrac{b}{c}\right)^{d x+F}\to 0.
  • Se d<0 as direções invertem: se \dfrac{b}{c}>1 então limit 0; se 0<\dfrac{b}{c}<1 então limit +\infty.
  • Se d=0 então o limite é simplesmente \left(\dfrac{b}{c}\right)^{F} (constante).
  1. Se \dfrac{b}{c}\le 0 (base não positiva), a expressão \left(\dfrac{b}{c}\right)^{d x+F} com expoente real geralmente não é bem definida no conjunto dos números reais, salvo casos especiais (por exemplo quando d=0 e F inteiro, ou quando a base -1 e o expoente assume valores que tornam a potência bem definida). Nesses casos é preciso especificar domínio complexo ou exigir restrições extras. Assim, sem informações adicionais, não se pode dar um valor real do limite quando a base é não positiva e o expoente tende a infinito de forma não inteira.

Passo 5

Resumo e interpretação final (repetindo o resultado de maneira compacta, com as ressalvas):
  • Para a\neq 0:
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{a x+b}{a x+c}\right)^{d x+F}=\exp\!\left(\frac{d(b-c)}{a}\right).
  • Para a=0 (então a base é \dfrac{b}{c}):
    • Se \dfrac{b}{c}=1 então o limite é 1.
    • Se \dfrac{b}{c}>0 e \dfrac{b}{c}\neq 1, o comportamento é exponencial conforme o sinal de d (veja os itens do Passo 4).
    • Se \dfrac{b}{c}\le 0 a potência real pode não estar bem definida para expoentes não inteiros; então não há um limite real bem definido sem hipóteses adicionais.

Resposta

\displaystyle \text{Se }a\neq 0:\\ \exp\!\left(\dfrac{d(b-c)}{a}\right)
\displaystyle \text{Se }a=0:\\ \left(\dfrac{b}{c}\right)^{d x+F}\\ \text{(caso a caso: se }b=c\text{ = }1;\text{ se }b/c>0\text{ veja Passo 4; se }b/c\le0\text{ pode não ser bem definido).}ã

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