onde a e b são constantes (assumir números reais). Informações relevantes:
A expressão é definida para x suficientemente grandes, porque \dfrac{a}{x}\to0 quando x\to\infty, então 1+\dfrac{a}{x} fica positiva para x grande (se necessário, pode-se restringir a x suficientemente grande).
O que se pede é o valor do limite quando x cresce sem boundas.
Passo 2
Ideia de resolução (sem calcular ainda): quando há uma potência com expoente que depende de x é conveniente tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Depois, se conseguirmos calcular o limite do logaritmo, usamos a continuidade da função exponencial para recuperar o limite original. Explico isso melhor:
Agora observe que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando y\to0, então temos uma forma indeterminada \dfrac{0}{0} e podemos aplicar a Regra de l’Hôpital (ou usar a expansão de \ln, explico a Regra de l’Hôpital em seguida).
Passo 5
Aplicando a Regra de l’Hôpital: derivar numerador e denominador em relação a y:
Derivada do numerador \dfrac{d}{dy}\ln(1+a y)=\dfrac{a}{1+a y}.
(Comentário didático: isso também pode ser visto pela série \ln(1+z)=z+o(z) quando z\to0, então \ln(1+a y)/y\to a.)
Passo 6
Voltando à expressão do Passo 3, obtemos
\lim_{x\to\infty} b x\ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right) = b\cdot\left(\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{a}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}\right) = b\cdot a.
Portanto o limite do logaritmo da expressão original é a b. Pela continuidade de \exp, o limite original é \exp(ab).