Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x},
onde a e b são constantes (assumir números reais). Informações relevantes:
  • A expressão é definida para x suficientemente grandes, porque \dfrac{a}{x}\to0 quando x\to\infty, então 1+\dfrac{a}{x} fica positiva para x grande (se necessário, pode-se restringir a x suficientemente grande).
  • O que se pede é o valor do limite quando x cresce sem boundas.

Passo 2

Ideia de resolução (sem calcular ainda): quando há uma potência com expoente que depende de x é conveniente tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Depois, se conseguirmos calcular o limite do logaritmo, usamos a continuidade da função exponencial para recuperar o limite original. Explico isso melhor:
  • Se definirmos
L=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x},
e se existir o limite
\lim_{x\to\infty}\ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x},
então, pela continuidade da função \exp, vale
L=\exp\!\left(\lim_{x\to\infty}\ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}\right).
Portanto basta calcular
\lim_{x\to\infty} b x\cdot \ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right).

Passo 3

Transformação algébrica do logaritmo:
\ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}=b x\ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right).
Reescrevo isso como um produto que facilita usar uma forma de limite indeterminado:
b x\ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right) = b\cdot \frac{\ln\!\left(1+\dfrac{a}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}.
Assim, o que precisamos avaliar é
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{a}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}},
multiplicando o resultado por b.

Passo 4

Mudança de variável para ver claramente a forma \dfrac{0}{0}: ponha y=\dfrac{1}{x}. Quando x\to\infty temos y\to 0^+. Em termos de y o quociente fica
\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{a}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}} = \frac{\ln\!\left(1+a y\right)}{y}, \qquad y\to 0.
Agora observe que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando y\to0, então temos uma forma indeterminada \dfrac{0}{0} e podemos aplicar a Regra de l’Hôpital (ou usar a expansão de \ln, explico a Regra de l’Hôpital em seguida).

Passo 5

Aplicando a Regra de l’Hôpital: derivar numerador e denominador em relação a y:
  • Derivada do numerador \dfrac{d}{dy}\ln(1+a y)=\dfrac{a}{1+a y}.
  • Derivada do denominador \dfrac{d}{dy}y=1.
Pelo l’Hôpital,
\lim_{y\to 0}\frac{\ln(1+a y)}{y} = \lim_{y\to 0}\frac{a}{1+a y} = \frac{a}{1+0}=a.
(Comentário didático: isso também pode ser visto pela série \ln(1+z)=z+o(z) quando z\to0, então \ln(1+a y)/y\to a.)

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 3, obtemos
\lim_{x\to\infty} b x\ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right) = b\cdot\left(\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{a}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}\right) = b\cdot a.
Portanto o limite do logaritmo da expressão original é a b. Pela continuidade de \exp, o limite original é \exp(ab).

Resposta

e^{ab}

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