Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão dentro dos parênteses é
. - À medida que
, temos . - O expoente é
que tende a quando e a quando ; globalmente é um comportamento de grandeza (tende a infinito em módulo). - Assim a forma é do tipo indeterminado
(ou seja, base → 1 e expoente → infinito em módulo).
Passo 2
Estratégia matemática que vamos usar (sem detalhar ainda o cálculo): trabalhar com o logaritmo natural da expressão. Isto é útil porque transformar potências em produtos facilita o limite. Mais precisamente, se definirmos
então é conveniente estudar
e, se
existir finito, concluir que
, pela continuidade da função exponencial.
Passo 3
Calculemos
:
Queremos
. Se essa limite existir e for finito, poderemos recuperar o limite original por exponenciação.
Passo 4
Para simplificar a expressão, faça a substituição
Quando
também
. Em função de
temos
e
Logo
Passo 5
Agora consideremos o limite
Resta calcular
. Esse é um limite clássico que vale
. Uma forma rápida de ver isso é aplicar a regra de L’Hôpital: tanto o numerador
quanto o denominador
tendem a
quando
; diferenciando numerador e denominador obtemos
portanto, por L’Hôpital,
Passo 6
Substituindo o resultado anterior na expressão para
, obtemos
Isto significa que o logaritmo natural da expressão tende a
quando
.
Passo 7
Como a função exponencial é contínua, se
então