Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{3 x}{2}\right)^{\frac{4}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{3x}{2}\right)^{\frac{4}{x}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão dentro dos parênteses é \displaystyle 1+\frac{3x}{2}.
  • À medida que x\to 0, temos \displaystyle 1+\frac{3x}{2}\to 1.
  • O expoente é \displaystyle \frac{4}{x} que tende a +\infty quando x\to 0^+ e a -\infty quando x\to 0^-; globalmente é um comportamento de grandeza (tende a infinito em módulo).
  • Assim a forma é do tipo indeterminado \,1^{\infty}\, (ou seja, base → 1 e expoente → infinito em módulo).

Passo 2

Estratégia matemática que vamos usar (sem detalhar ainda o cálculo): trabalhar com o logaritmo natural da expressão. Isto é útil porque transformar potências em produtos facilita o limite. Mais precisamente, se definirmos
y(x)=\left(1+\frac{3x}{2}\right)^{\frac{4}{x}},
então é conveniente estudar \ln y(x) e, se \displaystyle \lim_{x\to0}\ln y(x)=L existir finito, concluir que \displaystyle \lim_{x\to0} y(x)=\mathrm{e}^{L}, pela continuidade da função exponencial.

Passo 3

Calculemos \ln y(x):
\ln y(x)=\frac{4}{x}\cdot \ln\!\left(1+\frac{3x}{2}\right).
Queremos \displaystyle \lim_{x\to0}\ln y(x). Se essa limite existir e for finito, poderemos recuperar o limite original por exponenciação.

Passo 4

Para simplificar a expressão, faça a substituição
t=\frac{3x}{2}.
Quando x\to 0 também t\to 0. Em função de t temos x=\frac{2t}{3} e
\frac{4}{x}=\frac{4}{\tfrac{2t}{3}}=\frac{4\cdot 3}{2t}=\frac{6}{t}.
Logo
\ln y(x)=\frac{6}{t}\,\ln(1+t).

Passo 5

Agora consideremos o limite
\lim_{t\to 0}\frac{6}{t}\,\ln(1+t)=6\cdot\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}.
Resta calcular \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}. Esse é um limite clássico que vale 1. Uma forma rápida de ver isso é aplicar a regra de L’Hôpital: tanto o numerador \ln(1+t) quanto o denominador t tendem a 0 quando t\to 0; diferenciando numerador e denominador obtemos
\frac{d}{dt}\ln(1+t)=\frac{1}{1+t},\qquad \frac{d}{dt}t=1,
portanto, por L’Hôpital,
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{1+t}=\frac{1}{1+0}=1.

Passo 6

Substituindo o resultado anterior na expressão para \ln y(x), obtemos
\lim_{x\to 0}\ln y(x)=6\cdot 1=6.
Isto significa que o logaritmo natural da expressão tende a 6 quando x\to 0.

Passo 7

Como a função exponencial é contínua, se \displaystyle \lim_{x\to 0}\ln y(x)=6 então
\lim_{x\to 0} y(x)=\mathrm{e}^{6}.

Resposta

\mathrm{e}^{6}

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