Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{b}{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{b}{x}},
onde \,b\, é uma constante real. Informação importante: para x suficientemente próximo de 0 temos 1+x>0, então a expressão está bem definida como potência real nessa vizinhança. O que queremos é o valor numérico desse limite em função de \,b.

Passo 2

Estratégia: limites de potências do tipo (\cdot)^{\cdot} costumam ficar mais fáceis se trabalharmos com o logaritmo natural. Defino
L=\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{b}{x}}.
Se existir L>0, então posso tomar logaritmo natural e calcular
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{b}{x}\ln(1+x).
A continuação depende de calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}.

Passo 3

Escrevo a expressão para \ln L de forma clara:
\ln L = b\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}.
Portanto basta encontrar o valor de \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}.

Passo 4

Cálculo o limite \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}. Note que ao substituir x=0 obtemos uma forma indeterminada 0/0. Aplicando a regra de L’Hôpital (que diz que, sob hipóteses usuais de diferenciabilidade, o limite de uma razão 0/0 é o limite da razão das derivadas), temos:
derivada do numerador em relação a x é \dfrac{1}{1+x} e a do denominador é 1. Logo
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1/(1+x)}{1}=\frac{1}{1+0}=1.
(Alternativa rápida: isso também é visto porque \ln(1+x) tem desenvolvimento \ln(1+x)=x+o(x) quando x\to0, então a razão tende a 1.)

Passo 5

Voltando para \ln L, substituo o resultado anterior:
\ln L = b\cdot 1 = b.
Como a função exponencial é a inversa do logaritmo natural e é contínua, concluo
L = e^{\ln L}=e^{b}.

Passo 6

Comentário prático e exemplos: o resultado vale para qualquer constante real \,b. Exemplos rápidos para fixar: se b=1 obtém-se \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e; se b=2 obtém-se e^{2}; se b=0 1, coerente com a fórmula.

Resposta

e^{b}

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