Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
onde
é uma constante real. Informação importante: para
suficientemente próximo de
temos
, então a expressão está bem definida como potência real nessa vizinhança. O que queremos é o valor numérico desse limite em função de
.
Passo 2
Estratégia: limites de potências do tipo
costumam ficar mais fáceis se trabalharmos com o logaritmo natural. Defino
Se existir
, então posso tomar logaritmo natural e calcular
A continuação depende de calcular
.
Passo 3
Escrevo a expressão para
de forma clara:
Portanto basta encontrar o valor de
.
Passo 4
Cálculo o limite
. Note que ao substituir
obtemos uma forma indeterminada
. Aplicando a regra de L’Hôpital (que diz que, sob hipóteses usuais de diferenciabilidade, o limite de uma razão
é o limite da razão das derivadas), temos:
derivada do numerador em relação a é
e a do denominador é
. Logo
derivada do numerador em relação a
(Alternativa rápida: isso também é visto porque
tem desenvolvimento
quando
, então a razão tende a
.)
Passo 5
Voltando para
, substituo o resultado anterior:
Como a função exponencial é a inversa do logaritmo natural e é contínua, concluo
Passo 6
Comentário prático e exemplos: o resultado vale para qualquer constante real
. Exemplos rápidos para fixar: se
obtém-se
; se
obtém-se
; se
dá
, coerente com a fórmula.