Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+a x)^{\frac{b}{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}(1+a x)^{\frac{b}{x}},
onde a e b são constantes reais (não foi pedido mais nada). Informações relevantes que temos:
  • A expressão envolve (1+a x) elevada a uma potência que tende a infinito quando x\to0 (se b\neq0), então é um caso do tipo indeterminado \,1^{\infty}\,.
  • Para x muito próximo de 0 temos 1+a x próximo de 1, logo para valores suficientemente pequenos de x a base é positiva (a expressão está bem definida para os x próximos de 0).
  • Vamos obter o limite em função dos parâmetros a e b.

Passo 2

Tratar o caso especial \,a=0. Se a=0 então a expressão é
(1+0\cdot x)^{\frac{b}{x}} = 1^{\frac{b}{x}}.
Para qualquer x próximo de 0 isso vale 1, portanto
\lim_{x\to 0}(1+0\cdot x)^{\frac{b}{x}} = 1.
Note que isso coincide com a fórmula geral e^{ab} quando a=0 porque e^{0\cdot b}=e^{0}=1.

Passo 3

Agora suponha a\neq 0. Faça a substituição auxiliar \,t=a x. Então quando x\to0 temos t\to0. Reescrevendo a expressão em termos de t:
(1+a x)^{\frac{b}{x}} = (1+t)^{\frac{b}{x}}.
Como t=a x temos \dfrac{b}{x}=\dfrac{b}{t/a}=\dfrac{ab}{t}. Logo
(1+a x)^{\frac{b}{x}} = (1+t)^{\frac{ab}{t}}.
Isto pode ser escrito como potência de uma potência:
(1+t)^{\frac{ab}{t}} = \bigl((1+t)^{\frac{1}{t}}\bigr)^{ab}.
Portanto o limite pedido será \displaystyle\lim_{t\to0}\bigl((1+t)^{\frac{1}{t}}\bigr)^{ab}, ou seja é suficiente conhecer
\displaystyle\lim_{t\to0}(1+t)^{1/t}.

Passo 4

Calcular L=\displaystyle\lim_{t\to0}(1+t)^{1/t}. Para isso tome logaritmo natural e use propriedades de limites:
\ln L = \lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}.
O quociente \dfrac{\ln(1+t)}{t} é um caso clássico do tipo 0/0, então podemos aplicar a regra de l’Hôpital (que diz: se \lim_{t\to0} f(t)=0 e \lim_{t\to0} g(t)=0 e as derivadas existem, então \lim_{t\to0} \dfrac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t\to0} \dfrac{f'(t)}{g'(t)}, quando este último limite existe). Aqui f(t)=\ln(1+t) e g(t)=t, portanto
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t} = \lim_{t\to0}\frac{\frac{d}{dt}\ln(1+t)}{\frac{d}{dt}t} = \lim_{t\to0}\frac{1}{1+t} = 1.
Assim \ln L = 1, logo L = e^1 = e. Portanto
\lim_{t\to0}(1+t)^{1/t} = e.

Passo 5

Voltando à expressão original com a substituição, como \bigl((1+t)^{1/t}\bigr)^{ab} tende a e^{ab} quando t\to0, concluímos que para a\neq0
\lim_{x\to0}(1+a x)^{\frac{b}{x}} = e^{ab}.
Juntando com o caso a=0 (que deu 1=e^{0}=e^{ab}), a fórmula vale para todo a,b\in\mathbb{R}.

Passo 6

Resumo intuitivo e exemplos rápidos para fixar:
  • A ideia é transformar a potência em exponencial usando logaritmo, ou fazer a substituição t=ax para reduzir ao limite padrão \lim_{t\to0}(1+t)^{1/t}=e.
  • Exemplos: se a=2 e b=3, o limite é e^{6}. Se a=-1 e b=5, o limite é e^{-5}.

Resposta

e^{ab}

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