Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
onde
e
são constantes reais (não foi pedido mais nada). Informações relevantes que temos:
- A expressão envolve
elevada a uma potência que tende a infinito quando (se ), então é um caso do tipo indeterminado . - Para
muito próximo de temos próximo de , logo para valores suficientemente pequenos de a base é positiva (a expressão está bem definida para os próximos de ). - Vamos obter o limite em função dos parâmetros
e .
Passo 2
Tratar o caso especial
. Se
então a expressão é
Para qualquer
próximo de
isso vale
, portanto
Note que isso coincide com a fórmula geral
quando
porque
.
Passo 3
Agora suponha
. Faça a substituição auxiliar
. Então quando
temos
. Reescrevendo a expressão em termos de
:
Como
temos
. Logo
Isto pode ser escrito como potência de uma potência:
Portanto o limite pedido será
, ou seja é suficiente conhecer
.
Passo 4
Calcular
. Para isso tome logaritmo natural e use propriedades de limites:
O quociente
é um caso clássico do tipo
, então podemos aplicar a regra de l’Hôpital (que diz: se
e
e as derivadas existem, então
, quando este último limite existe). Aqui
e
, portanto
Assim
, logo
. Portanto
Passo 5
Voltando à expressão original com a substituição, como
tende a
quando
, concluímos que para
Juntando com o caso
(que deu
), a fórmula vale para todo
.
Passo 6
Resumo intuitivo e exemplos rápidos para fixar:
- A ideia é transformar a potência em exponencial usando logaritmo, ou fazer a substituição
para reduzir ao limite padrão . - Exemplos: se
e , o limite é . Se e , o limite é .