Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a expressão envolve a função exponencial
e uma potência com expoente
. O ponto de interesse é
. Não há imagens ou dados adicionais.
Passo 2
Idéia geral (transformação útil): quando aparece um limite do tipo
e a base tende a
e o expoente diverge (ou seja, forma indeterminada como
), é muito conveniente tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto e depois usar a exponencial no final. Vou aplicar isso aqui.
Seja
Como todas as manipulações abaixo envolvem operações com logaritmo e exponencial, elas são válidas quando a base é positiva — e
é positiva para
perto de
(em particular em
dá
). Então podemos definir
Depois,
. Agora vamos calcular
.
Passo 3
Analisar a forma da nova expressão e verificar indeterminação: ao
temos
portanto a expressão
é da forma
, indeterminada. Podemos aplicar o Teorema de L’Hôpital (desde que as derivadas existam num entorno de 0, o que ocorre aqui).
Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a
. A derivada do denominador é
. A derivada do numerador usa a regra da cadeia:
Portanto, por L’Hôpital,
Passo 4
Calcular o limite resultante avaliando a expressão contínua no ponto
:
Assim obtemos
.
Passo 5
Retornar à expressão original: se
, então
Esse é o valor do limite buscado.
Passo 6
(Verificação alternativa — série de Taylor, opcional mas didático)
Usando expansões em séries para conferência: quando
. Então
Usando expansões em séries para conferência:
Tomando logaritmo e usando
com
, obtém-se
Dividindo por
e levando
dá
, e então
. Resultado consistente com L’Hôpital.