Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}+3 x\right)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(e^{x}+3x\right)^{\frac{1}{x}}.
Informações dadas: a expressão envolve a função exponencial e^{x} e uma potência com expoente \frac{1}{x}. O ponto de interesse é x\to 0. Não há imagens ou dados adicionais.

Passo 2

Idéia geral (transformação útil): quando aparece um limite do tipo \lim_{x\to a} f(x)^{g(x)} e a base tende a 1 e o expoente diverge (ou seja, forma indeterminada como 1^\infty), é muito conveniente tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto e depois usar a exponencial no final. Vou aplicar isso aqui.
Seja
L=\lim_{x\to 0}\left(e^{x}+3x\right)^{\frac{1}{x}}.
Como todas as manipulações abaixo envolvem operações com logaritmo e exponencial, elas são válidas quando a base é positiva — e e^{x}+3x é positiva para x perto de 0 (em particular em x=0 1). Então podemos definir
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\left(e^{x}+3x\right)}{x}.
Depois, L=\exp\!\big(\ln L\big). Agora vamos calcular \ln L.

Passo 3

Analisar a forma da nova expressão e verificar indeterminação: ao x\to 0 temos
\ln\!\left(e^{x}+3x\right)\longrightarrow \ln(1)=0 \quad\text{e}\quad x\longrightarrow 0,
portanto a expressão \dfrac{\ln(e^{x}+3x)}{x} é da forma \dfrac{0}{0}, indeterminada. Podemos aplicar o Teorema de L’Hôpital (desde que as derivadas existam num entorno de 0, o que ocorre aqui).
Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x. A derivada do denominador é 1. A derivada do numerador usa a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln\!\left(e^{x}+3x\right)=\frac{e^{x}+3}{e^{x}+3x}.
Portanto, por L’Hôpital,
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\left(e^{x}+3x\right)}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+3}{e^{x}+3x}.

Passo 4

Calcular o limite resultante avaliando a expressão contínua no ponto x=0:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+3}{e^{x}+3x} =\frac{e^{0}+3}{e^{0}+0} =\frac{1+3}{1} =4.
Assim obtemos \ln L=4.

Passo 5

Retornar à expressão original: se \ln L=4, então
L=\exp(4)=e^{4}.
Esse é o valor do limite buscado.

Passo 6

(Verificação alternativa — série de Taylor, opcional mas didático)
Usando expansões em séries para conferência: e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}) quando x\to 0. Então
e^{x}+3x=1+4x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}).
Tomando logaritmo e usando \ln(1+u)=u-\dfrac{u^{2}}{2}+o(u^{2}) com u=4x+\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}), obtém-se
\ln\!\left(e^{x}+3x\right)=4x+O(x^{2}).
Dividindo por x e levando x\to 0 4, e então \exp(4)=e^{4}. Resultado consistente com L’Hôpital.

Resposta

e^{4}

Exercícios relacionados