Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações claras e o que precisamos encontrar:
- A expressão envolve funções que ficam indefinidas quando
: e . - Queremos o valor finito (se existir) da diferença entre
e quando se aproxima de pela direita.
Passo 2
Primeiro faço uma substituição simples para trabalhar com uma variável pequena. Seja
. Então
quando
e
. Reescrevo o limite em
:
Vou manipular essa expressão para uma forma adequada para análise.
Passo 3
Coloco as frações em um único quociente para ver o tipo de indeterminação:
Observe que quando
tanto o numerador
quanto o denominador
tendem a
, portanto temos uma indeterminação do tipo
. Para resolver, vou reduzir esse quociente a limites mais simples.
Passo 4
Faço a fatoração/divisão conveniente para separar fatores que têm limites fáceis:
Assim o limite original é o quociente dos dois limites mais simples
desde que os limites do numerador e do denominador existam e o segundo seja diferente de zero. Vou calcular cada um.
Passo 5
Calculo o limite do denominador auxiliar:
Este é um limite clássico:
tem a mesma ordem de
quando
, e o limite vale
. (Uma forma rápida: aplique l’Hôpital ou use a expansão
.) Então
Passo 6
Agora calculo o limite do numerador auxiliar
Posso aplicar l’Hôpital uma vez porque o numerador e o denominador tendem a
. Derivo numerador e denominador em relação a
:
- derivada do numerador
é ; - derivada do denominador
é .
Pelo teorema de l’Hôpital:
Portanto
Passo 7
Como já temos
pela relação do Passo 4 obtemos
Portanto o limite pedido existe e vale
.