Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão considerada é
. - A variável
tende para .
Observação importante sobre a forma da expressão:
- Quando
o quociente tende a (porque os termos dominantes cancelam). - O expoente
tende a . - Logo a forma da potência é do tipo
, que é uma forma indeterminada — portanto precisamos manipular a expressão para avaliar o limite.
Passo 2
Estratégia para resolver: transformar a potência usando logaritmo natural. Isso é útil porque o logaritmo transforma potência em produto, e limites de produtos do tipo (expoente)·(log da base) costumam ser mais fáceis de avaliar.
Defina
Então, se existir o limite, podemos calcular
Se conseguirmos esse limite e ele for finito igual a
, então
.
Passo 3
Reescrevemos a fração de forma que as expansões para pequenos termos fiquem claras. Note que
Portanto
Passo 4
Agora usamos a propriedade padrão do logaritmo para pequenas variações: para qualquer
vale
mais formalmente
.
Aplique isso com
, que tende a
quando
. Então
Usando essas razões, avaliamoa cada termo multiplicado por
:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo (note o sinal negativo no argumento da diferença):
Somando os dois resultados (pois
é a diferença dos dois logaritmos multiplicada por
), obtemos
Passo 5
Concluímos que
. Portanto o limite original é
Parabéns — mesmo parecendo uma forma indeterminada complicada, a técnica do logaritmo e a aproximação
resolvem o problema de forma direta. Vai dar certo na prova também; respira fundo e pratique mais alguns assim!