Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{6 x+1}{6 x-1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{6x+1}{6x-1}\right)^{x}.
Informações dadas:
  • A expressão considerada é \left(\dfrac{6x+1}{6x-1}\right)^{x}.
  • A variável x tende para -\infty.
Observação importante sobre a forma da expressão:
  • Quando x\to -\infty o quociente \dfrac{6x+1}{6x-1} tende a 1 (porque os termos dominantes 6x cancelam).
  • O expoente x tende a -\infty.
  • Logo a forma da potência é do tipo 1^{\infty}, que é uma forma indeterminada — portanto precisamos manipular a expressão para avaliar o limite.

Passo 2

Estratégia para resolver: transformar a potência usando logaritmo natural. Isso é útil porque o logaritmo transforma potência em produto, e limites de produtos do tipo (expoente)·(log da base) costumam ser mais fáceis de avaliar.
Defina
L=\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{6x+1}{6x-1}\right)^{x}.
Então, se existir o limite, podemos calcular
\ln L=\lim_{x\to -\infty} x\ln\!\left(\frac{6x+1}{6x-1}\right).
Se conseguirmos esse limite e ele for finito igual a A, então L=e^{A}.

Passo 3

Reescrevemos a fração de forma que as expansões para pequenos termos fiquem claras. Note que
\frac{6x+1}{6x-1}=\frac{6x\left(1+\dfrac{1}{6x}\right)}{6x\left(1-\dfrac{1}{6x}\right)} =\frac{1+\dfrac{1}{6x}}{1-\dfrac{1}{6x}}.
Portanto
\ln L=\lim_{x\to -\infty} x\left[\ln\!\left(1+\dfrac{1}{6x}\right)-\ln\!\left(1-\dfrac{1}{6x}\right)\right].

Passo 4

Agora usamos a propriedade padrão do logaritmo para pequenas variações: para qualquer u\to 0 vale
\ln(1+u)\sim u,
mais formalmente \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Aplique isso com u=\dfrac{1}{6x}, que tende a 0 quando x\to -\infty. Então
\lim_{x\to -\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{6x}\right)}{\dfrac{1}{6x}}=1, \qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{1}{6x}\right)}{-\dfrac{1}{6x}}=1.
Usando essas razões, avaliamoa cada termo multiplicado por x:
Para o primeiro termo:
\lim_{x\to -\infty} x\ln\!\left(1+\dfrac{1}{6x}\right) = \lim_{x\to -\infty} x\cdot\dfrac{1}{6x}\cdot \frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{6x}\right)}{\dfrac{1}{6x}} = \frac{1}{6}\cdot 1=\frac{1}{6}.
Para o segundo termo (note o sinal negativo no argumento da diferença):
\lim_{x\to -\infty} x\left[-\ln\!\left(1-\dfrac{1}{6x}\right)\right] = \lim_{x\to -\infty} x\cdot\frac{1}{6x}\cdot \frac{-\ln\!\left(1-\dfrac{1}{6x}\right)}{\dfrac{1}{6x}} = \frac{1}{6}\cdot 1=\frac{1}{6}.
Somando os dois resultados (pois \ln L é a diferença dos dois logaritmos multiplicada por x), obtemos
\ln L=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Concluímos que \ln L=\dfrac{1}{3}. Portanto o limite original é
L=e^{\frac{1}{3}}.
Parabéns — mesmo parecendo uma forma indeterminada complicada, a técnica do logaritmo e a aproximação \ln(1+u)\sim u resolvem o problema de forma direta. Vai dar certo na prova também; respira fundo e pratique mais alguns assim!

Resposta

e^{\frac{1}{3}}

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