A medida em radianos do ângulo entre
e
é
, e
é ortogonal a
e
. Sendo a
base positiva, ache
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente os dados que recebemos):
- A medida em radianos do ângulo entre
e é . -
é ortogonal a e a . -
. -
é base positiva (ou seja, tem orientação positiva).
O que o problema pede:
- Calcular
(o produto misto/escalar triplo entre ).
Passo 2
Definição e fórmulas úteis (explicando bem o que cada símbolo significa):
- O produto misto
é definido por
Isto é um número real. Outra forma equivalente, que às vezes é mais conveniente, é
- Explicando:
é um vetor perpendicular a e . O produto escalar de um vetor com dá a projeção (em termos de magnitude e sinal) desse vetor sobre .
Passo 3
Geometria do problema (por que isso simplifica muito):
- Como
é ortogonal a e a , os vetores e pertencem ao plano que é perpendicular a . - Logo,
é um vetor perpendicular a e , ou seja, é paralelo a . Portanto e têm a mesma direção ou direções opostas. A informação de que é base positiva nos diz que aponta na mesma direção de (não na direção oposta). - Magnitude do vetor
: para quaisquer vetores, vale
onde
é o ângulo entre
e
. Aqui
e
, então
(Esta fórmula vem da interpretação geométrica do produto vetorial: a área do paralelogramo gerado por
e
é
.)
Passo 4
Usar a orientação positiva para fixar o sinal:
- Como
é base positiva, tem mesma direção de . Portanto o produto escalar é positivo e igual ao produto das normas:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Concluir relacionando com o produto misto:
- Pelo Passo 2,
. Juntando com o resultado do Passo 4:
Isso é o valor exato pedido. (Se for útil na prova, pode-se também dar uma aproximação numérica calculando
, mas o enunciado forneceu o ângulo simbolicamente, então a resposta exata é esta.)