A medida em radianos do ângulo entre \bar{u} e \bar{v} é \overline{6}, e \bar{w} é ortogonal a \bar{u} e \bar{v}. Sendo a \|\vec{u}\|=1,\|\vec{v}\|=1,\|\vec{w}\|=4, \mathrm{e}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) base positiva, ache [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}].

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente os dados que recebemos):
  • A medida em radianos do ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \overline{6}.
  • \vec{w} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.
  • \|\vec{u}\|=1,\\ \|\vec{v}\|=1,\\ \|\vec{w}\|=4.
  • \mathrm{e}(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é base positiva (ou seja, (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) tem orientação positiva).
O que o problema pede:
  • Calcular [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] (o produto misto/escalar triplo entre \vec{u},\vec{v},\vec{w}).

Passo 2

Definição e fórmulas úteis (explicando bem o que cada símbolo significa):
  • O produto misto [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] é definido por
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Isto é um número real. Outra forma equivalente, que às vezes é mais conveniente, é
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}.
  • Explicando: \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a \vec{u} e \vec{v}. O produto escalar de um vetor com \vec{w} dá a projeção (em termos de magnitude e sinal) desse vetor sobre \vec{w}.

Passo 3

Geometria do problema (por que isso simplifica muito):
  • Como \vec{w} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}, os vetores \vec{u} e \vec{v} pertencem ao plano que é perpendicular a \vec{w}.
  • Logo, \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a \vec{u} e \vec{v}, ou seja, é paralelo a \vec{w}. Portanto \vec{u}\times\vec{v} e \vec{w} têm a mesma direção ou direções opostas. A informação de que (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é base positiva nos diz que \vec{u}\times\vec{v} aponta na mesma direção de \vec{w} (não na direção oposta).
  • Magnitude do vetor \vec{u}\times\vec{v}: para quaisquer vetores, vale
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin(\theta),
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Aqui \theta=\overline{6} e \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=1, então
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \sin(\overline{6}).
(Esta fórmula vem da interpretação geométrica do produto vetorial: a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v} é \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta.)

Passo 4

Usar a orientação positiva para fixar o sinal:
  • Como (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é base positiva, \vec{u}\times\vec{v} tem mesma direção de \vec{w}. Portanto o produto escalar (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} é positivo e igual ao produto das normas:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} = \|\vec{u}\times\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|.
Substituindo \|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sin(\overline{6}) e \|\vec{w}\|=4, obtemos
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} = 4\sin(\overline{6}).

Passo 5

Concluir relacionando com o produto misto:
  • Pelo Passo 2, [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}. Juntando com o resultado do Passo 4:
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = 4\sin(\overline{6}).
Isso é o valor exato pedido. (Se for útil na prova, pode-se também dar uma aproximação numérica calculando \sin(\overline{6}), mas o enunciado forneceu o ângulo simbolicamente, então a resposta exata é esta.)

Resposta

4\sin(\overline{6})

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